Introduction

      The Categories of Algebras

 
Construction of General Algebras and their Elements

      Construction of a General Algebra
            Algebra< R, n | Q > : Rng, RngIntElt, SeqEnum -> AlgGen
            AssociativeAlgebra< R, n | Q > : Rng, RngIntElt, SeqEnum -> AlgAss
            QuaternionAlgebra< K | a, b > : Rng, RngElt, RngElt -> AlgQuat
            LieAlgebra< R, n | Q > : Rng, RngIntElt, SeqEnum -> AlgLie
            LieAlgebra(A) : AlgAss -> AlgLie
            GroupAlgebra(R, G) : Rng, Grp -> AlgGrp
            MatrixAlgebra(R, n) : Rng, RngInt -> AlgMat

      Construction of an Element of a General Algebra
            Zero(A) : AlgGen -> AlgGenElt
            One(A) : AlgGen -> AlgGenElt
            Random(A) : AlgGen -> AlgGenElt

 
Construction of Subalgebras, Ideals and Quotient Algebras

      Subalgebras and Ideals
            sub< A | L > : AlgGen, List -> AlgGen, Map
            lideal< A | L > : AlgGen, List -> AlgGen, Map
            rideal< A | L > : AlgGen, List -> AlgGen, Map
            ideal< A | L > : AlgGen, List -> AlgGen, Map

      Quotient Algebras
            quo< A | L > : AlgGen, List -> AlgGen, Map
            A / S : AlgGen, AlgGen -> AlgGen

 
Operations on Algebras and Subalgebras

      Invariants of an Algebra
            CoefficientRing(A) : AlgGen -> Rng
            Dimension(A) : AlgGen -> RngIntElt
            # A : AlgGen -> RngIntElt

      Changing Rings
            ChangeRing(A, S) : AlgGen, Rng -> AlgGen, Map
            ChangeRing(A, S, f) : AlgGen, Rng, Map -> AlgGen, Map

      Bases
            BasisElement(A, i) : AlgGen, RngIntElt -> AlgGenElt
            Basis(A) : AlgGen -> [ AlgGenElt ]
            IsIndependent(Q) : [ AlgGen ] -> BoolElt
            ExtendBasis(S, A) : AlgGen, AlgGen -> [ AlgElt ]

      Decomposition of an Algebra
            CompositionSeries(A) : AlgGen -> [ AlgGen ], [ AlgGen ], AlgMatElt
            CompositionFactors(A) : AlgGen -> [ AlgGen ]
            MinimalLeftIdeals(A : parameters) : AlgGen -> [ AlgGen ], BoolElt
            MaximalLeftIdeals(A : parameters) : AlgGen -> [ AlgGen ], BoolElt
            JacobsonRadical(A) : AlgGen -> AlgGen
            IsSemisimple(A) : AlgGen -> BoolElt
            IsSimple(A) : AlgGen -> BoolElt
            Example AlgGen_quaternions (H88E1)

      Operations on Subalgebras
            IsZero(A) : AlgGen -> BoolElt
            A eq B : AlgGen, AlgGen -> BoolElt
            A ne B : AlgGen, AlgGen -> BoolElt
            A subset B : AlgGen, AlgGen -> BoolElt
            A notsubset B : AlgGen, AlgGen -> BoolElt
            A meet B : AlgGen, AlgGen -> AlgGen
            A * B : AlgGen, AlgGen -> AlgGen
            A ^ n : AlgGen, RngIntElt -> AlgGen
            Morphism(A, B) : AlgGen, AlgGen -> Map

 
Operations on Elements of an Algebra

      Operations on Elements
            a + b : AlgGenElt, AlgGenElt -> AlgGenElt
            - a : AlgGenElt -> AlgGenElt
            a - b : AlgGenElt, AlgGenElt -> AlgGenElt
            a * b : AlgGenElt, AlgGenElt -> AlgGenElt
            a * r : AlgGenElt, RngElt -> AlgGenElt
            a / r : AlgGenElt, RngElt -> AlgGenElt
            a ^ n : AlgGenElt, RngIntElt -> AlgGenElt
            MinimalPolynomial(a) : AlgGenElt -> RngUPolElt
            Parent(a) : AlgGenElt -> AlgGen

      Comparisons and Membership
            a eq b : AlgGenElt, AlgGenElt -> BoolElt
            a ne b : AlgGenElt, AlgGenElt -> BoolElt
            a in A : AlgGenElt, AlgGen -> BoolElt
            a notin A : AlgGenElt, AlgGen -> BoolElt

      Predicates on Elements
            IsZero(a) : AlgGenElt -> BoolElt
            IsOne(a) : AlgGenElt -> BoolElt
            IsMinusOne(a) : AlgGenElt -> BoolElt
            IsUnit(a) : AlgGenElt -> BoolElt, AlgGenElt
            IsRegular(a) : AlgGenElt -> BoolElt
            IsZeroDivisor(a) : AlgGenElt -> BoolElt
            IsIdempotent(a) : AlgGenElt -> BoolElt
            IsNilpotent(a) : AlgGenElt -> BoolElt, RngIntElt

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