Introduction

 
Newton Polygons

      Creation of Newton Polygons
            NewtonPolygon(f) : RngMPolElt -> NwtnPgon
            NewtonPolygon(f) : RngUPolElt -> NwtnPgon
            NewtonPolygon(f, p) : RngUPolElt, RngOrdIdl -> NwtnPgon
            NewtonPolygon(f, p) : RngUPolElt, PlcFunElt -> NwtnPgon
            NewtonPolygon(C) : Crv -> NwtnPgon
            NewtonPolygon(V) : SeqEnum -> NwtnPgon
            DefiningPoints(N) : NwtnPgon -> SeqEnum
            Example Newton_create-ex (H56E1)

      Vertices and Faces of Polygons
            Faces(N) : NwtnPgon -> SeqEnum
            InnerFaces(N) : NwtnPgon -> SeqEnum
            LowerFaces(N) : NwtnPgon -> SeqEnum
            OuterFaces(N) : NwtnPgon -> SeqEnum
            AllFaces(N) : NwtnPgon -> SeqEnum
            Example Newton_faces-ex (H56E2)
            Vertices(N) : NwtnPgon -> SeqEnum
            InnerVertices(N) : NwtnPgon -> SeqEnum
            LowerVertices(N) : NwtnPgon -> SeqEnum
            OuterVertices(N) : NwtnPgon -> SeqEnum
            AllVertices(N) : NwtnPgon -> SeqEnum
            Example Newton_vertices-ex (H56E3)
            EndVertices(F) : NwtnPgonFace -> SeqEnum
            FacesContaining(N,p) : NwtnPgon,Tup -> SeqEnum
            Example Newton_sp-vertices-ex (H56E4)
            GradientVector(F) : NwtnPgonFace -> Tup
            GradientVectors(N) : NwtnPgon -> [ Tup ]
            Weight(F) : NwtnPgonFace -> RngIntElt
            Slopes(N) : NwtnPgon -> SeqEnum
            InnerSlopes(N) : NwtnPgon -> SeqEnum
            Example Newton_grad-ex (H56E5)

      Tests for Points and Faces
            IsFace(N, F) : NwtnPgon,Tup -> BoolElt
            IsVertex(N, p) : NwtnPgon,Tup -> BoolElt
            IsInterior(N,p) : NwtnPgon,Tup -> BoolElt
            IsBoundary(N, p) : NwtnPgon,Tup -> BoolElt
            IsPoint(N,p) : NwtnPgon,Tup -> BoolElt

 
Polynomials Associated with Newton Polygons
      HasPolynomial(N) : NwtnPgon -> BoolElt
      Polynomial(N) : NwtnPgon -> RngElt
      ParentRing(N) : NwtnPgon -> Rng
      IsNewtonPolygonOf(N, f) : NwtnPgon, RngElt -> BoolElt
      FaceFunction(F) : NwtnPgonFace -> RngElt
      IsDegenerate(F) : NwtnPgonFace -> BoolElt
      IsDegenerate(N) : NwtnPgon -> BoolElt
      IsNondegenerate(F) : NwtnPgonFace -> BoolElt
      IsNondegenerate(N) : NwtnPgon -> BoolElt

 
Finding Valuations of Roots of Polynomials from Newton Polygons
      ValuationsOfRoots(f) : RngUPolElt -> [ < RngIntElt, RngIntElt > ]
      ValuationsOfRoots(f, p) : RngUPolElt, RngIntElt -> [ < RngIntElt, RngIntElt > ]

 
Using Newton Polygons to Find Roots of Polynomials over Series Rings
      SetVerbose("Newton", v) : MonStgElt, RngIntElt ->

      Operations not associated with Duval's Algorithm
            PuiseuxExpansion(f, n) : RngUPolElt, RngIntElt -> SeqEnum[RngSerPuisElt]
            ExpandToPrecision(f, c, n) : RngUPolElt, RngSerElt, RngIntElt -> RngSerElt
            ImplicitFunction(f, d, n) : RngUPolElt, RngIntElt, RngIntElt -> RngSerElt
            Example Newton_poly-ops-ex (H56E6)
            IsPartialRoot(f, c) : RngUPolElt, RngSerElt -> BoolElt
            IsUniquePartialRoot(f, c) : RngUPolElt, RngSerElt -> BoolElt
            Example Newton_pol-is (H56E7)
            PuiseuxExponents(p) : RngSerElt -> SeqEnum
            PuiseuxExponentsCommon(p, q) : RngSerElt, RngSerElt -> SeqEnum
            Example Newton_exps (H56E8)

      Operations associated with Duval's algorithm
            DuvalPuiseuxExpansion(f, n) : RngUPolElt, RngIntElt -> SeqEnum
            ParametrizationToPuiseux(T) : Tup -> SeqEnum
            PuiseuxToParametrization(S) : RngSerElt -> Tup
            Example Newton_duval-ex (H56E9)

      Roots of Polynomials
            Roots(f) : RngUPolElt -> [<RngSerElt, RngIntElt>]
            HasRoot(f) : RngUPolElt -> BoolElt, RngSerElt
            Example Newton_roots-ex (H56E10)

 
Bibliography

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