Introduction

      Representations of Fields

 
Creation of Algebraic Function Fields and their Orders

      Creation of Algebraic Function Fields
            ext< K | f > : FldFunRat, RngUPolElt -> FldFun
            FunctionField(f : parameters) : RngMPolElt -> FldFun
            FunctionField(S) : [RngUPolElt] -> FldFun
            HermitianFunctionField(p, d) : RngIntElt, RngIntElt -> FldFun
            sub<F | S> : FldFun, [] -> FldFun
            AssignNames(~F, s) : FldFun, [ MonStgElt ] ->
            FunctionField(R) : Rng -> FldFunG
            Example FldFunG_Creation (H46E1)
            Example FldFunG_creation-rel (H46E2)
            Example FldFunG_creation-non-simple (H46E3)
            Example FldFunG_creation_herm (H46E4)

      Construction of Orders of Algebraic Function Fields
            EquationOrderFinite(F) : FldFun -> RngFunOrd
            MaximalOrderFinite(F) : FldFun -> RngFunOrd
            EquationOrderInfinite(F) : FldFun -> RngFunOrd
            MaximalOrderInfinite(F) : FldFun -> RngFunOrd
            IntegralClosure(R, F) : Rng, FldFun -> RngFunOrd
            EquationOrder(O) : RngFunOrd -> RngFunOrd
            MaximalOrder(O) : RngFunOrd -> RngFunOrd
            SetOrderMaximal(O, b) : RngFunOrd, BoolElt ->
            ext<O | f> : RngFunOrd, RngUPolElt -> RngFunOrd
            Example FldFunG_orders (H46E5)
            Example FldFunG_int_cl (H46E6)
            Order(O, T, d) : RngFunOrd, AlgMatElt, RngElt -> RngFunOrd
            Order(O, M) : RngFunOrd, ModDed -> RngFunOrd
            Order(O, S) : RngFunOrd, [FldFunElt] -> RngFunOrd
            Simplify(O) : RngFunOrd -> RngFunOrd
            O1 + O2 : RngFunOrd, RngFunOrd -> RngFunOrd
            O1 meet O2 : RngFunOrd, RngFunOrd -> RngFunOrd
            AsExtensionOf(O1, O2) : RngFunOrd, RngFunOrd -> RngFunOrd
            Example FldFunG_order-create-more (H46E7)

      Orders and Ideals
            MultiplicatorRing(I) : RngFunOrdIdl -> RngFunOrd
            pMaximalOrder(O, p) : RngFunOrd, RngFunOrdIdl -> RngFunOrd
            pRadical(O, p) : RngFunOrd, RngFunOrdIdl -> RngFunOrdIdl

 
Related Structures

      Parent and Category

      Other Related Structures
            PrimeRing(F) : FldFun -> Rng
            ConstantField(F) : FldFunG -> Rng
            ExactConstantField(F) : FldFunG -> Rng, Map
            BaseRing(F) : FldFun -> Rng
            ISABaseField(F,G) : Fld, Fld -> BoolElt
            BaseRing(O) : RngFunOrd -> Rng
            BaseRing(FF) : FldFunOrd -> Rng
            SubOrder(O) : RngFunOrd -> RngFunOrd
            FunctionField(O) : RngFunOrd -> FldFun
            FieldOfFractions(O) : RngFunOrd -> FldFunOrd
            Order(FF) : FldFunOrd -> RngFunOrd
            RationalExtensionRepresentation(F) : FldFunG -> FldFun
            AbsoluteOrder(O) : RngFunOrd -> RngFunOrd
            AbsoluteFunctionField(F) : FldFunG -> FldFunG
            UnderlyingRing(F) : FldFunG -> FldFunG
            Embed(F, L, a) : FldFun, FldFun, FldFunElt ->
            HasEmbedding(O1, O2) : RngFunOrd, RngFunOrd -> Bool
            CanComputeEmbedding(O1, O2) : RngFunOrd, RngFunOrd -> Bool
            Places(F) : FldFunG -> PlcFun
            DivisorGroup(F) : FldFun -> DivFun
            DifferentialSpace(F) : FldFun -> DiffFun
            Example FldFunG_related-structures (H46E8)
            Example FldFunG_related-structures-rat-ext (H46E9)
            WeilRestriction(E, n) : FldFun, RngIntElt -> FldFun, UserProgram
            ConstantFieldExtension(F, E) : FldFun, Rng -> FldFun, Map
            Example FldFunG_cfe (H46E10)
            MonicModel(F) : FldFun -> FldFun
            Reduce(O) : RngFunOrd -> RngFunOrd
            Localization(O, p) : RngFunOrd, RngFunOrdIdl -> RngVal, Map

 
General Structure Invariants
      Characteristic(F) : FldFun -> RngIntElt
      IsPerfect(F) : Fld -> BoolElt
      Degree(F) : FldFunG -> RngIntElt
      AbsoluteDegree(F) : FldFunG -> RngIntElt
      DefiningPolynomial(F) : FldFun -> RngUPolElt
      DefiningPolynomials(F) : FldFun -> [RngUPolElt]
      Basis(F) : FldFunG -> SeqEnum[FldFunElt]
      TransformationMatrix(O1, O2) : RngFunOrd, RngFunOrd -> AlgMatElt, RngElt
      CoefficientIdeals(O) : RngFunOrd -> [RngFunOrdIdl]
      BasisMatrix(O) : RngFunOrd -> AlgMatElt
      PrimitiveElement(O) : RngFunOrd -> RngFunOrdElt
      Discriminant(O) : RngFunOrd -> .
      AbsoluteDiscriminant(O) : RngFunOrd -> .
      DimensionOfExactConstantField(F) : FldFunG -> RngIntElt
      Genus(F) : FldFunG -> RngIntElt
      Example FldFunG_invar (H46E11)
      Example FldFunG_invar-non-simple (H46E12)
      GapNumbers(F) : FldFunG -> SeqEnum[RngIntElt]
      GapNumbers(F, P) : FldFunG, PlcFunElt -> SeqEnum[RngIntElt]
      SeparatingElement(F) : FldFunG -> FldFunGElt
      RamificationDivisor(F) : FldFunG -> DivFunElt
      WeierstrassPlaces(F) : FldFunG -> [PlcFunElt]
      WronskianOrders(F) : FldFunG -> [RngIntElt]
      Different(O) : RngFunOrd -> RngFunOrdIdl
      Index(O, S) : RngFunOrd, RngFunOrd -> Any

 
Galois Groups
      GaloisGroup(f) : RngUPolElt -> GrpPerm, [ RngElt ], GaloisData
      GaloisGroup(F) : FldFun -> GrpPerm, [RngElt], GaloisData
      Example FldFunG_GaloisGroups (H46E13)
      Example FldFunG_GaloisGroups2 (H46E14)
      GeometricGaloisGroup(f) : RngUPolElt -> GrpPerm, RngUPolElt, GaloisData
      HilbertIrreducibilityCurves(f) : RngUPolElt -> SetEnum, SeqEnum
      Example FldFunG_appl (H46E15)

      Splitting Fields
            GaloisSplittingField(f) : RngUPolElt -> FldFun, [FldFunElt], GrpPerm, [[FldFunElt]]
            Example FldFunG_galois-subfield (H46E16)

            Solvability by Radicals
                  SolveByRadicals(f) : RngUPolElt -> FldFun, [FldFunElt], [FldFunElt]
                  CyclicToRadical(K, a, z) : FldFun, FldFunElt, RngElt -> FldFun, [FldFunElt], [FldFunElt]
                  Example FldFunG_solve-radical (H46E17)

 
Subfields
      Subfields(F) : FldFun -> SeqEnum[FldFun]
      Example FldFunG_Subfields (H46E18)

 
Automorphism Group

      Automorphisms over the Base Field
            Automorphisms(K, k) : FldFun, FldFunG -> [Map]
            AutomorphismGroup(K, k) : FldFun, FldFunG -> GrpFP, Map
            Example FldFunG_Automorphisms (H46E19)
            IsSubfield(K, L) : FldFun, FldFun -> BoolElt, Map
            IsIsomorphicOverQt(K, L) : FldFun, FldFun -> BoolElt, Map
            Example FldFunG_IsSubfield (H46E20)

      General Automorphisms
            Isomorphisms(K, E) : FldFunG, FldFunG -> [Map]
            IsIsomorphic(K, E) : FldFunG, FldFunG -> BoolElt, Map
            Automorphisms(K) : FldFunG -> [Map]
            Isomorphisms(K,E,p1,p2) : FldFunG, FldFunG, PlcFunElt, PlcFunElt -> [Map]
            AutomorphismGroup(K) : FldFunG -> GrpFP, Map
            AutomorphismGroup(K,f) : FldFunG, Map -> Grp, Map, SeqEnum

      Field Morphisms
            IsMorphism(f) : Map -> Bool
            FieldMorphism(f) : Map -> Map
            IdentityFieldMorphism(F) : Fld -> Map
            IsIdentity(f) : Map -> BoolElt
            Equality(f, g) : Map, Map -> Bool
            HasInverse(f) : Map -> MonStgElt, Map
            Composition(f, g) : Map, Map -> Map
            Example FldFunG_Isomorphisms (H46E21)

 
Global Function Fields

      Functions relative to the Exact Constant Field
            NumberOfPlacesOfDegreeOverExactConstantField(F, m) : FldFun, RngIntElt -> RngIntElt
            NumberOfPlacesOfDegreeOneOverExactConstantField(F) : FldFunG -> RngIntElt
            NumberOfPlacesOfDegreeOneOverExactConstantField(F, m) : FldFunG, RngIntElt -> RngIntElt
            SerreBound(F) : FldFunG -> RngIntElt
            IharaBound(F) : FldFunG -> RngIntElt
            NumberOfPlacesOfDegreeOneECFBound(F) : FldFunG -> RngIntElt
            LPolynomial(F) : FldFunG -> RngUPolElt
            LPolynomial(F, m) : FldFunG, RngIntElt -> RngUPolElt
            ZetaFunction(F) : FldFunG -> FldFunRatUElt
            ZetaFunction(F, m) : FldFunG, RngIntElt -> FldFunRatUElt

      Functions Relative to the Constant Field
            Places(F, m) : FldFunG, RngIntElt -> SeqEnum[PlcFunElt]
            HasPlace(F, m) : FldFunG, RngIntElt -> BoolElt, PlcFunElt
            HasRandomPlace(F, m) : FldFunG, RngIntElt -> BoolElt, PlcFunElt
            RandomPlace(F, m) : FldFunG, RngIntElt -> PlcFunElt
            Example FldFunG_global-function-fields (H46E22)
            Example FldFunG_global1 (H46E23)

      Functions related to Class Group
            UnitRank(O) : RngFunOrd -> RngIntElt
            UnitGroup(O) : RngFunOrd -> GrpAb, Map
            Regulator(O) : RngFunOrd -> RngIntElt
            PrincipalIdealMap(O) : RngFunOrd -> Map
            Example FldFunG_global-class-ex (H46E24)
            ClassGroup(F : parameters) : FldFunG -> GrpAb, Map, Map
            ClassGroup(O) : RngFunOrd -> GrpAb, Map, Map
            ClassGroupExactSequence(O) : RngFunOrd -> Map, Map, Map
            ClassGroupAbelianInvariants(F : parameters) : FldFunG -> SeqEnum
            ClassGroupAbelianInvariants(O) : RngFunOrd -> SeqEnum
            ClassNumber(F) : FldFunG -> RngIntElt
            ClassNumber(O) : RngFunOrd -> RngIntElt
            Example FldFunG_class-group (H46E25)
            GlobalUnitGroup(F) : FldFunG -> GrpAb, Map
            ClassGroupPRank(F) : FldFunG -> RngIntElt
            HasseWittInvariant(F) : FldFunG -> RngIntElt
            IndependentUnits(O) : RngFunOrd -> SeqEnum[RngFunOrdElt]
            FundamentalUnits(O) : RngFunOrd -> SeqEnum[RngFunOrdElt]
            Example FldFunG_orders (H46E26)

 
Structure Predicates
      O1 subset O2 : RngFunOrd, RngFunOrd -> BoolElt
      IsGlobal(F) : FldFunG -> BoolElt
      IsRationalFunctionField(F) : FldFunG -> BoolElt
      IsFiniteOrder(O) : RngFunOrd -> BoolElt
      IsEquationOrder(O) : RngFunOrd -> BoolElt
      IsAbsoluteOrder(O) : RngFunOrd -> BoolElt
      IsMaximal(O) : RngFunOrd -> BoolElt
      IsTamelyRamified(O) : RngFunOrd -> BoolElt
      IsTotallyRamified(O) : RngFunOrd -> BoolElt
      IsUnramified(O) : RngFunOrd -> BoolElt
      IsWildlyRamified(O) : RngFunOrd -> BoolElt
      IsInKummerRepresentation(K) : FldFun -> BoolElt, FldFunElt
      IsInArtinSchreierRepresentation(K) : FldFun -> BoolElt, FldFunElt

 
Homomorphisms
      hom<F -> R | g> : FldFun, Rng, RngElt -> Map
      hom< O -> R | g > : RngFunOrd, Rng, RngElt -> Map
      IsRingHomomorphism(m) : Map -> BoolElt
      Example FldFunG_hom (H46E27)
      hom< O -> R | b₁, ..., b_n > : RngFunOrd, Rng, RngElt, ..., RngElt -> Map

 
Elements

      Creation of Elements
            F . 1 : FldFun -> FldFunElt
            Name(F, i) : FldFun, RngIntElt -> FldFunElt
            O . i : RngFunOrd, RngIntElt -> FldFunOrdElt
            F ! a : FldFun, . -> FldFunElt
            O ! a : RngFunOrd, . -> RngFunOrdElt
            FF ! a : FldFunOrd, Any -> FldFunOrdElt
            elt< F | a₀, a₁, ..., a_{n - 1}> : FldFun, RngElt , ..., RngElt -> FldFunElt
            elt< O | a₁, a₂, ..., a_n> : RngFunOrd, RngElt , ..., RngElt -> RngFunOrdElt
            Random(F, m) : FldFunG, RngIntElt -> FldFunElt

      Parent and Category

      Sequence Conversions
            ElementToSequence(a) : FldFunElt -> SeqEnum[FldElt]
            Eltseq(a, R) : FldFunElt, FldFunG -> [FldFunGElt]
            Flat(a) : FldFunElt -> [FldFunGElt]
            F ! [ a₀, a₁, ..., a_{n - 1} ] : FldFun, SeqEnum -> FldFunElt
            O ! [ a₁, a₂, ..., a_n ] : RngFunOrd, SeqEnum -> RngFunOrdElt
            Example FldFunG_Elements (H46E28)

      Arithmetic Operators
            Modexp(a, k, m) : RngFunOrdElt, RngIntElt, RngUPolElt -> RngFunOrdElt
            a mod I : RngFunOrdElt, RngFunOrdIdl -> RngFunOrdElt
            Modinv(a, m) : RngFunOrdElt, RngFunOrdIdl -> RngFunOrdElt

      Equality and Membership

      Predicates on Elements
            IsDivisibleBy(a, b) : FldFunElt, FldFunElt -> BoolElt, FldFunElt
            IsSeparating(a) : FldFunGElt -> BoolElt
            IsConstant(a) : FldFunGElt -> BoolElt, RngElt
            IsGlobalUnit(a) : FldFunElt -> BoolElt
            IsGlobalUnitWithPreimage(a) : FldFunElt -> BoolElt, GrpAbElt
            IsUnitWithPreimage(a) : RngFunOrdElt -> BoolElt, GrpAbElt

      Functions related to Norm and Trace
            RepresentationMatrix(a) : FldFunGElt -> AlgMatElt
            Trace(a, R) : FldFunElt, Rng -> RngElt
            Norm(a, R) : FldFunElt, Rng -> RngElt
            CharacteristicPolynomial(a, R) : FldFunElt, Rng -> RngUPolElt
            MinimalPolynomial(a, R) : FldFunElt, Rng -> RngUPolElt
            AbsoluteMinimalPolynomial(a) : FldFunElt -> RngUPolElt
            RepresentationMatrix(a, R) : FldFunGElt, Rng -> AlgMatElt
            Example FldFunG_elements-norm-trace (H46E29)

      Functions related to Orders and Integrality
            IntegralSplit(a, O) : FldFunElt, RngFunOrd -> RngFunOrdElt, RngElt
            Numerator(a, O) : FldFunElt, RngFunOrd -> RngFunOrdElt
            Numerator(a) : FldFunOrdElt -> RngFunOrdElt
            Numerator(a, O) : FldFunOrdElt, RngFunOrd -> RngElt
            Denominator(a, O) : FldFunElt, RngFunOrd -> RngElt
            Denominator(a) : FldFunOrdElt -> RngElt
            Denominator(a, O) : FldFunOrdElt, RngFunOrd -> RngElt
            Min(a, O) : FldFunElt, RngFunOrd -> RngElt, RngElt

      Functions related to Places and Divisors
            Evaluate(a, P) : FldFunElt, PlcFunElt -> RngElt
            Lift(a, P) : RngElt, PlcFunElt -> FldFunElt
            Valuation(a, P) : FldFunElt, PlcFunElt -> RngIntElt
            Expand(a, P) : FldFunGElt, PlcFunElt -> RngSerElt, FldFunGElt
            Development(a, P) : FldFunGElt, PlcFunElt -> RngSerElt
            Divisor(a) : FldFunGElt -> DivFunElt
            Zeros(a) : FldFunGElt -> [PlcFunElt]
            Zeros(F, a) : FldFunG, FldFunGElt -> [PlcFunElt]
            Poles(a) : FldFunGElt -> SeqEnum[PlcFunElt]
            Poles(F, a) : FldFun, FldFunGElt -> [PlcFunElt]
            Degree(a) : FldFunElt -> RngIntElt
            CommonZeros(L) : [FldFunGElt] -> [PlcFunElt]
            CommonZeros(F, L) : FldFunG, SeqEnum[ FldFunGElt ] -> SeqEnum[ PlcFunElt ]
            Example FldFunG_elements (H46E30)
            Module(L, R) : SeqEnum[ FldFunGElt ], Rng -> Mod, Map, SeqEnum[ ModElt ]
            Relations(L, R) : SeqEnum[ FldFunElt ], Rng -> ModTupRng
            Roots(f, D) : RngUPolElt, DivFunElt -> SeqEnum[ FldFunElt ]
            Example FldFunG_module (H46E31)

      Other Operations on Elements
            ProductRepresentation(a) : FldFunGElt -> [FldFunGElt], [RngIntElt]
            ProductRepresentation(Q, S) : [FldFunGElt], [RngIntElt] -> FldFunGElt
            RationalFunction(a) : FldFunGElt -> RngElt
            Differentiation(x, a) : FldFunGElt, FldFunGElt -> FldFunGElt
            Differentiation(x, n, a) : FldFunGElt, RngIntElt, FldFunGElt -> FldFunGElt
            DifferentiationSequence(x, n, a) : FldFunGElt, RngIntElt, FldFunGElt -> SeqEnum
            PrimePowerRepresentation(x, k, a) : FldFunGElt, RngIntElt, FldFunGElt -> SeqEnum
            Different(a) : RngFunOrdElt -> RngFunOrdElt
            RationalReconstruction(e, f) : FldFunElt, RngUPolElt -> BoolElt, FldFunElt
            CoefficientHeight(a) : RngFunOrdElt -> RngIntElt
            CoefficientLength(a) : RngFunOrdElt -> RngIntElt
            Example FldFunG_elements-other_ops (H46E32)

 
Ideals

      Creation of Ideals
            ideal< O | a₁, a₂, ... , a_m > : RngFunOrd, RngElt, ..., RngElt -> RngFunOrdIdl
            ideal< O | T, d > : RngFunOrd, AlgMatElt, RngElt -> RngFunOrdIdl
            ideal< O | T, S > : RngFunOrd, AlgMatElt, [RngFunOrdIdl] -> RngFunOrdIdl
            x * O : RngElt, RngFunOrd -> RngFunOrdIdl
            Ideal(P) : PlcFunElt -> RngFunOrdIdl
            Ideals(D) : DivFunElt -> RngFunOrdIdl, RngFunOrdIdl
            O !! I : RngFunOrd, RngFunOrdIdl -> RngFunOrdIdl

      Parent and Category

      Arithmetic Operators
            c / I : RngElt, RngFunOrdIdl -> RngFunOrdIdl
            IdealQuotient(I, J) : RngFunOrdIdl, RngFunOrdIdl -> RngFunOrdIdl
            ChineseRemainderTheorem(I1, I2, e1, e2) : RngFunOrdIdl, RngFunOrdIdl, RngFunOrdElt, RngFunOrdElt -> RngFunOrdElt

      Roots of Ideals
            IsPower(I, n) : RngFunOrdIdl, RngIntElt -> BoolElt, RngFunOrdIdl
            Root(I, n) : RngFunOrdIdl, RngIntElt -> RngFunOrdIdl
            IsSquare(I) : RngFunOrdIdl -> BoolElt, RngFunOrdIdl
            SquareRoot(I) : RngFunOrdIdl -> RngFunOrdIdl
            Example FldFunG_ideal-is-square (H46E33)

      Equality and Membership

      Predicates on Ideals
            IsZero(I) : RngFunOrdIdl -> BoolElt
            IsOne(I) : RngFunOrdIdl -> BoolElt
            IsIntegral(I) : RngFunOrdIdl -> BoolElt
            IsPrime(I) : RngFunOrdIdl -> BoolElt
            IsPrincipal(I) : RngFunOrdIdl -> BoolElt, FldFunElt

            Predicates on Prime Ideals
                  IsInert(P) : RngFunOrdIdl -> BoolElt
                  IsInert(P, O) : RngFunOrdIdl, RngFunOrd -> BoolElt
                  IsRamified(P) : RngFunOrdIdl -> BoolElt
                  IsRamified(P, O) : RngFunOrdIdl, RngFunOrd -> BoolElt
                  IsSplit(P) : RngFunOrdIdl -> BoolElt
                  IsSplit(P, O) : RngFunOrdIdl, RngFunOrd -> BoolElt
                  IsTamelyRamified(P) : RngFunOrdIdl -> BoolElt
                  IsTamelyRamified(P, O) : RngFunOrdIdl, RngFunOrd -> BoolElt
                  IsTotallyRamified(P) : RngFunOrdIdl -> BoolElt
                  IsTotallyRamified(P, O) : RngFunOrdIdl, RngFunOrd -> BoolElt
                  IsTotallySplit(P) : RngFunOrdIdl -> BoolElt
                  IsTotallySplit(P, O) : RngFunOrdIdl, RngFunOrd -> BoolElt
                  IsUnramified(P) : RngFunOrdIdl -> BoolElt
                  IsUnramified(P, O) : RngFunOrdIdl, RngFunOrd -> BoolElt
                  IsWildlyRamified(P) : RngFunOrdIdl -> BoolElt
                  IsWildlyRamified(P, O) : RngFunOrdIdl, RngFunOrd -> BoolElt

      Further Ideal Operations
            I meet J : RngFunOrdIdl, RngFunOrdIdl -> RngFunOrdIdl
            Gcd(I, J) : RngFunOrdIdl, RngFunOrdIdl -> RngFunOrdIdl
            Lcm(I, J) : RngFunOrdIdl, RngFunOrdIdl -> RngFunOrdIdl
            Factorization(I) : RngFunOrdIdl -> [ <RngFunOrdIdl, RngIntElt> ]
            Decomposition(O, p) : RngFunOrd, RngElt -> [ RngFunOrdIdl ]
            Decomposition(O) : RngFunOrd -> [ RngFunOrdIdl ]
            DecompositionType(O, p) : RngFunOrd, RngElt -> [ <RngIntElt, RngIntElt> ]
            DecompositionType(O) : RngFunOrd -> [ <RngIntElt, RngIntElt> ]
            MultiplicatorRing(I) : RngFunOrdIdl -> RngFunOrd
            pMaximalOrder(O, p) : RngFunOrd, RngFunOrdIdl -> RngFunOrd
            pRadical(O, p) : RngFunOrd, RngFunOrdIdl -> RngFunOrdIdl
            Valuation(a, P) : RngElt, RngFunOrdIdl -> RngIntElt
            Order(I) : RngFunOrdIdl -> RngFunOrd
            Denominator(I) : RngFunOrdIdl -> RngElt
            Minimum(I) : RngFunOrdIdl -> Any
            I meet R : RngFunOrdIdl, Rng -> Any
            IntegralSplit(I) : RngFunOrdIdl -> RngFunOrdIdl, RngElt
            Norm(I) : RngFunOrdIdl -> Any
            TwoElement(I) : RngFunOrdIdl -> RngElt, RngElt
            Generators(I) : RngFunOrdIdl -> [ RngFunOrdElt ]
            Basis(I) : RngFunOrdIdl -> [FldFunElt]
            BasisMatrix(I) : RngFunOrdIdl -> AlgMatElt
            TransformationMatrix(I) : RngFunOrdIdl -> AlgMatElt, RngElt
            CoefficientIdeals(I) : RngFunOrdIdl -> [RngFunOrdIdl]
            Different(I) : RngFunOrdIdl -> RngFunOrdIdl
            Codifferent(I) : RngFunOrdIdl -> RngFunOrdIdl
            Divisor(I) : RngFunOrdIdl -> DivFunElt
            Divisor(I, J) : RngFunOrdIdl, RngFunOrdIdl -> DivFunElt
            CoefficientHeight(I) : RngFunOrdIdl -> RngIntElt
            CoefficientLength(I) : RngFunOrdIdl -> RngIntElt
            Example FldFunG_ideals (H46E34)

            Functions on Prime Ideals
                  RamificationIndex(I) : RngFunOrdIdl -> RngIntElt
                  Degree(I) : RngFunOrdIdl -> RngIntElt
                  ResidueClassField(I) : RngFunOrdIdl -> Rng, Map
                  Place(I) : RngFunOrdIdl -> PlcFunElt
                  SafeUniformizer(P) : RngFunOrdIdl -> RngFunOrdElt
                  WeakApproximation(I, V) : [RngFunOrdIdl], [RngIntElt] -> FldFunElt
                  Example FldFunG_order-ideals (H46E35)

      Quotient Rings

            Operations on Quotient Rings
                  quo< O | I > : RngFunOrd, RngFunOrdIdl -> RngFunOrdRes
                  quo< O | p > : RngFunOrd, RngUPolElt -> RngFunOrdRes
                  Modulus(OQ) : RngFunOrdRes -> RngFunOrdIdl
                  Example FldFunG_quotient (H46E36)

            Elements of Quotients
                  OQ ! a : RngFunOrdRes, Elt -> RngFunOrdResElt
                  a mod I : RngFunOrdElt, RngFunOrdIdl -> RngFunOrdElt
                  IsZero(a) : RngFunOrdResElt -> BoolElt
                  IsOne(a) : RngFunOrdResElt -> BoolElt
                  IsMinusOne(a) : RngFunOrdResElt -> BoolElt
                  IsUnit(a) : RngFunOrdResElt -> BoolElt
                  Eltseq(a) : RngFunOrdResElt -> []

 
Places

      Creation of Structures
            Places(F) : FldFun -> PlcFun

      Creation of Elements

            General Function Field Places
                  Decomposition(F, P) : FldFunG, PlcFunElt -> [ PlcFunElt ]
                  DecompositionType(F, P) : FldFun, PlcFunElt -> [ <RngIntElt, RngIntElt> ]
                  Zeros(a) : FldFunElt -> [ PlcFunElt ]
                  Poles(a) : FldFunElt -> [ PlcFunElt ]
                  S ! I : PlcFun, RngFunOrdIdl -> PlcFunElt
                  Support(D) : DivFunElt -> [ PlcFunElt ], [ RngIntElt ]
                  AssignNames(~P, s) : PlcFunElt, [ MonStgElt ] ->
                  InfinitePlaces(F) : FldFun -> [PlcFunElt]

            Global Function Field Places
                  HasPlace(F, m) : FldFun, RngIntElt -> PlcFunElt
                  HasRandomPlace(F, m) : FldFun, RngIntElt -> BoolElt, PlcFunElt
                  RandomPlace(F, m) : FldFun, RngIntElt -> PlcFunElt
                  Places(F, m) : FldFun, RngIntElt -> SeqEnum[PlcFunElt]
                  Example FldFunG_place-creation (H46E37)

      Related Structures

            Parent and Category
                  FunctionField(S) : PlcFun -> FldFun
                  DivisorGroup(F) : FldFunG -> DivFun

      Structure Invariants

            General Function Fields
                  WeierstrassPlaces(F) : FldFunG -> [PlcFunElt]

            Global Function Fields
                  NumberOfPlacesOfDegreeOneOverExactConstantField(F, m) : FldFun, RngIntElt -> RngIntElt
                  NumberOfPlacesOfDegreeOneOverExactConstantFieldBound(F, m) : FldFun, RngIntElt -> RngIntElt
                  NumberOfPlacesOfDegreeOverExactConstantField(F, m) : FldFunG, RngIntElt -> RngIntElt

      Structure Predicates

      Element Operations

            Parent and Category

            Arithmetic Operators
                  Quotrem(P, k) : PlcFunElt, RngIntElt -> DivFunElt, DivFunElt

            Equality and Membership

            Predicates on Elements
                  IsFinite(P) : PlcFunElt -> BoolElt
                  IsWeierstrassPlace(P) : PlcFunElt -> BoolElt

            Other Element Operations
                  FunctionField(P) : PlcFunElt -> FldFun
                  Degree(P) : PlcFunElt -> RngIntElt
                  RamificationIndex(P) : PlcFunElt -> RngIntElt
                  InertiaDegree(P) : PlcFunElt -> RngIntElt
                  Minimum(P) : PlcFunElt -> RngElt
                  ResidueClassField(P) : PlcFunElt -> Rng, Map
                  Evaluate(a, P) : RngElt, PlcFunElt -> RngElt
                  Lift(a, P) : RngElt, PlcFunElt -> FldFunElt
                  TwoGenerators(P) : PlcFunElt -> FldFunGElt, FldFunGElt
                  LocalUniformizer(P) : PlcFunElt -> FldFunGElt
                  Valuation(a, P) : FldFunElt, PlcFunElt -> RngIntElt
                  Ideal(P) : PlcFunElt -> RngFunOrdIdl
                  Norm(P) : PlcFunElt -> DivFunElt
                  Example FldFunG_places (H46E38)

      Completion at Places
            Completion(F, p) : FldFun, PlcFunElt -> RngSerLaur, Map

 
Divisors

      Creation of Structures
            DivisorGroup(F) : FldFun -> DivFun

      Creation of Elements
            Divisor(P) : PlcFunElt -> DivFunElt
            Div ! a : DivFun, RngElt -> DivFunElt
            Div ! I : DivFun, RngFunOrdIdl -> DivFunElt
            Divisor(I, J) : RngFunOrdIdl, RngFunOrdIdl -> DivFunElt
            Identity(G) : DivFun -> DivFunElt
            CanonicalDivisor(F) : FldFunG -> DivFunElt
            DifferentDivisor(F) : FldFunG -> DivFunElt
            AssignNames(~D, s) : DivFunElt, [ MonStgElt ] ->

      Related Structures

            Parent and Category
                  FunctionField(G) : DivFun -> FldFun
                  Places(F) : FldFun -> PlcFun

      Structure Invariants
            NumberOfSmoothDivisors(n, m, P) : RngIntElt, RngIntElt, SeqEnum[RngElt] -> RngElt
            DivisorOfDegreeOne(F) : FldFunG -> DivFunElt

      Structure Predicates

      Element Operations

            Arithmetic Operators
                  Quotrem(D, k) : DivFunElt, RngIntElt -> DivFunElt, DivFunElt
                  GCD(D1, D2) : DivFunElt, DivFunElt -> DivFunElt
                  LCM(D1, D2) : DivFunElt, DivFunElt -> DivFunElt

            Equality, Comparison and Membership

            Predicates on Elements
                  IsCanonical(D) : DivFunElt -> BoolElt, DiffFunElt
                  Example FldFunG_divisors-simple_rel (H46E39)

            Other Element Operations
                  FunctionField(D) : DivFunElt -> FldFun
                  Degree(D) : DivFunElt -> RngIntElt
                  Support(D) : DivFunElt -> [ PlcFunElt ]
                  Numerator(D) : DivFunElt -> DivFunElt
                  Denominator(D) : DivFunElt -> DivFunElt
                  Ideals(D) : DivFunElt -> RngFunOrdIdl, RngFunOrdIdl
                  Norm(D) : DivFunElt -> DivFunElt
                  FiniteSplit(D) : DivFunElt -> DivFunElt, DivFunElt
                  Dimension(D) : DivFunElt -> RngIntElt
                  IndexOfSpeciality(D) : DivFunElt -> RngIntElt
                  ShortBasis(D : parameters) : DivFunElt -> [RngElt], [RngIntElt]
                  Basis(D : parameters) : DivFunElt -> [ FldFunElt ]
                  RiemannRochSpace(D) : DivFunElt -> ModFld, Map
                  Valuation(D, P) : DivFunElt, PlcFunElt -> RngIntElt
                  Reduction(D) : DivFunElt -> DivFunElt, RngIntElt, DivFunElt, FldFunElt
                  GapNumbers(D, P) : DivFunElt, PlcFunElt -> SeqEnum[RngIntElt]
                  GapNumbers(D) : DivFunElt -> SeqEnum[RngIntElt]
                  Example FldFunG_divisors (H46E40)
                  Example FldFunG_AlgReln1 (H46E41)
                  Example FldFunG_AlgReln2 (H46E42)
                  RamificationDivisor(D) : DivFunElt -> DivFunElt
                  WeierstrassPlaces(D) : DivFunElt -> [PlcFunElt]
                  IsWeierstrassPlace(D, P) : DivFunElt, PlcFunElt -> BoolElt
                  WronskianOrders(D) : DivFunElt -> [RngIntElt]
                  ComplementaryDivisor(D) : DivFunElt -> DivFunElt
                  DifferentialBasis(D) : DivFunElt -> [DiffFunElt]
                  DifferentialSpace(D) : DivFunElt -> ModFld, Map
                  Parametrization(F, D) : FldFun, DivFunElt -> FldFunElt, [FldFunRatUElt]

      Functions related to Divisor Class Groups of Global Function Fields
            ClassGroupGenerationBound(q, g) : RngIntElt, RngIntElt -> RngIntElt
            ClassGroupGenerationBound(F) : FldFunG -> RngIntElt
            ClassNumberApproximation(F, e) : FldFunG, FldReElt -> FldReElt
            ClassNumberApproximationBound(q, g, e) : RngIntElt, RngIntElt, FldReElt, -> RngIntElt
            ClassGroup(F : parameters) : FldFun -> GrpAb, Map, Map
            ClassGroupAbelianInvariants(F : parameters) : FldFun -> SeqEnum
            ClassNumber(F) : FldFun -> RngIntElt
            Example FldFunG_divisors-class (H46E43)
            GlobalUnitGroup(F) : FldFun -> GrpAb, Map
            IsGlobalUnit(a) : FldFunElt -> BoolElt
            IsGlobalUnitWithPreimage(a) : FldFunElt -> BoolElt, GrpAbElt
            PrincipalDivisorMap(F) : FldFunG -> Map
            ClassGroupExactSequence(F) : FldFunG -> Map, Map, Map
            SUnitGroup(S) : SetEnum[PlcFunElt] -> GrpAb, Map
            IsSUnit(a, S) : FldFunElt, SetEnum[PlcFunElt] -> BoolElt
            IsSUnitWithPreimage(a, S) : FldFunElt, SetEnum[PlcFunElt] -> BoolElt, GrpAbElt
            SRegulator(S) : SetEnum[PlcFunElt] -> RngIntElt
            SPrincipalDivisorMap(S) : SetEnum[PlcFunElt] -> Map
            IsSPrincipal(D, S) : DivFunElt, SetEnum[PlcFunElt] -> BoolElt, FldFunElt
            SClassGroup(S) : SetEnum[PlcFunElt] -> GrpAb, Map, Map
            SClassGroupExactSequence(S) : SetEnum[PlcFunElt] -> Map, Map, Map
            SClassGroupAbelianInvariants(S) : SetEnum[PlcFunElt] -> SeqEnum
            SClassNumber(S) : SetEnum[PlcFunElt] -> RngIntElt
            ClassGroupPRank(F) : FldFunG -> RngIntElt
            HasseWittInvariant(F) : FldFunG -> RngIntElt
            TateLichtenbaumPairing(D1, D2, m) : DivFunElt, DivFunElt, RngIntElt -> RngElt
            Example FldFunG_tate (H46E44)

 
Differentials

      Creation of Structures
            DifferentialSpace(F) : FldFunG -> DiffFun

      Creation of Elements
            Differential(a) : FldFunGElt -> DiffFunElt
            Identity(D) : DiffFun -> DiffFunElt
            IsCanonical(D) : DivFunElt -> BoolElt, DiffFunElt

      Related Structures
            FunctionField(D) : DiffFun -> FldFun
            FunctionField(d) : DiffFunElt -> FldFun

      Subspaces
            SpaceOfDifferentialsFirstKind(F) : FldFunG -> ModFld, Map
            BasisOfDifferentialsFirstKind(F) : FldFunG -> SeqEnum[DiffFunElt]
            DifferentialBasis(D) : DivFunElt -> [DiffFunElt]
            DifferentialSpace(D) : DivFunElt -> ModFld, Map
            Example FldFunG_div_diff (H46E45)

      Structure Predicates
            D1 eq D2 : DiffFun, DiffFun -> BoolElt

      Operations on Elements

            Arithmetic Operators
                  r * x : RngElt, DiffFunElt -> DiffFunElt

            Equality and Membership
                  x eq y : DiffFunElt, DiffFunElt -> BoolElt
                  x in D : Any, DiffFun -> BoolElt

            Predicates on Elements
                  IsExact(d) : DiffFunElt -> BoolElt, FldFunGElt
                  IsZero(d) : DiffFunElt -> BoolElt

            Functions on Elements
                  Valuation(d, P) : DiffFunElt, PlcFunElt -> RngIntElt
                  Divisor(d) : DiffFunElt -> DivFunElt
                  Residue(d, P) : DiffFunElt, PlcFunElt -> RngElt
                  Example FldFunG_diff-fun (H46E46)
                  Module(L, R) : SeqEnum[ DiffFunElt ], Rng -> Mod, Map, SeqEnum[ ModElt ]
                  Relations(L, R) : SeqEnum[ DiffFunElt ], Rng -> ModTupRng
                  Example FldFunG_module-diff (H46E47)
                  Cartier(b) : DiffFunElt -> DiffFunElt

            Other
                  CartierRepresentation(F) : FldFunG -> AlgMatElt, SeqEnum[DiffFunElt]
                  Example FldFunG_diff-cart (H46E48)

 
Weil Descent
      WeilDescent(E,k) : FldFun, FldFin -> FldFunG, Map
      ArtinSchreierExtension(c,a,b) : FldFin, FldFin, FldFin -> FldFun
      WeilDescentDegree(E,k) : FldFun, FldFin -> RngIntElt
      WeilDescentGenus(E,k) : FldFun, FldFin -> RngIntElt
      MultiplyFrobenius(b,f,F) : RngElt, RngUPolElt, Map -> RngElt
      Example FldFunG_ghs-descent (H46E49)

 
Function Field Database

      Creation
            FunctionFieldDatabase(q, d) : RngIntElt, RngIntElt -> DB
            sub< D | : parameters> : DB -> DB

      Access
            BaseField(D) : DB -> FldFin
            Degree(D) : DB -> RngIntElt
            # D : DB -> RngIntElt
            FunctionFields(D) : DB -> [ FldFunG ]
            Example FldFunG_alffdb-basic1 (H46E50)

 
The Montes Algorithm
      Montes(f, p) : RngUPolElt, RngUPolElt -> SeqEnum, SeqEnum, RngIntElt
      Example FldFunG_montes-eg-1 (H46E51)
      Montes(K, p) : FldArith, RngElt ->
      Example FldFunG_montes-eg-2 (H46E52)
      SFL(P, s) : OMIdl, RngIntElt ->
      Example FldFunG_sfl (H46E53)
      SetUseMontes(f) : BoolElt ->
      GetUseMontes(t) : Cat -> BoolElt
      SetVerbose("Montes", v) : MonStgElt, RngIntElt ->

 
Ideals in OM Representation
      Ideal(I) : OMIdl -> RngOrdIdl
      OMRepresentation(I) : RngFunOrdIdl -> OMIdl
      OMRepresentation(L, S) : FldArith, [FldArithElt] -> OMIdl
      Example FldFunG_om-rep-ideal (H46E54)

      Ideal Arithmetic
            I + J : OMIdl, OMIdl -> OMIdl
            I ^ n : OMIdl, RngIntElt -> OMIdl
            Example FldFunG_om-ideal-arith (H46E55)

      Ideal Predicates
            IsOne(I) : OMIdl -> BoolElt
            IsZero(I) : OMIdl -> BoolElt
            I eq J : OMIdl, OMIdl -> BoolElt
            a in I : RngElt, OMIdl -> BoolElt
            I subset J : OMIdl, OMIdl -> BoolElt
            IsPrime(I) : OMIdl -> BoolElt
            IsIntegral(I) : OMIdl -> BoolElt

 
Ideal Operations
      pIntegralBasis(I, p) : OMIdl, RngElt -> SeqEnum
      SIntegralBasis(I, S) : OMIdl, SeqEnum -> SeqEnum
      Basis(I) : OMIdl -> SeqEnum
      Example FldFunG_om-ideal-op (H46E56)
      TwoElement(I) : OMIdl -> FldArithElt, FldArithElt
      Norm(I) : OMIdl -> RngElt
      Valuation(alpha, P : parameters) : FldArithElt, OMIdl->RngIntElt,FldElt
      Valuation(I, P) : OMIdl, OMIdl -> RngIntElt
      a mod P : FldArithElt, OMIdl -> FldArithElt
      Factorization(I) : OMIdl -> SeqEnum
      Example FldFunG_om-ideal-ops (H46E57)
      ResidueField(I) : OMIdl -> Fld
      Degree(I) : OMIdl -> RngIntElt
      Example FldFunG_om-ideals-deg-res (H46E58)

 
Divisors in OM representation

      Constructing Divisors in OM representation
            OMDivisor(If, Ii) : OMIdl, OMIdl-> OMDiv
            OMDivisor(I) : OMIdl -> OMDiv
            OMDivisor(z) : FldFunElt -> OMDiv
            PoleDivisor(a) : FldFunElt -> OMDiv
            ZeroDivisor(a) : FldFunElt -> OMDiv
            OMDivisorOfDegreeOne(F) : FldFun -> OMDiv
            ReferenceDivisor(F) : FldFun -> OMDiv
            OMDivisor(D) : DivFunElt -> OMDiv
            Example FldFunG_om-div-constr (H46E59)

      Arithmetic with Divisors in OM representation
            k * D : RngIntElt, OMDiv -> OMDiv
            D1 + D2 : OMDiv, OMDiv -> OMDiv
            D1 - D2 : OMDiv, OMDiv -> OMDiv
            GCD(D1, D2) : OMDiv, OMDiv -> OMDiv
            Example FldFunG_om-div-arith (H46E60)

      Predicates on Divisors in OM representation
            IsEffective(D) : OMDiv -> BoolElt
            IsPrincipal(D) : OMDiv -> BoolElt
            D1 eq D2 : OMDiv, OMDiv -> BoolElt
            Example FldFunG_om-div-pred (H46E61)

      Other Operations on Divisors in OM representation
            Divisor(D) : OMDiv -> DivFunElt
            Valuation(D, P) : OMDiv, OMIdl -> RngIntElt
            Support(D) : OMDiv -> [OMIdl], [RngIntElt]
            Height(D) : OMDiv -> RngIntElt
            Degree(D) : OMDiv -> RngIntElt
            Basis(D) : OMDiv -> SeqEnum
            Dimension(D) : OMDiv -> RngIntElt
            ReducedBasis(D) : OMDiv -> SeqEnum
            SemiReducedBasis(D) : OMDiv -> SeqEnum
            SuccessiveMinima(D) : OMDiv -> SeqEnum
            ApproximatedSuccessiveMinima(D) : OMDiv -> SeqEnum
            Example FldFunG_om-div-ops (H46E62)

 
Bibliography

[Next][Prev] [Right] [____] [Up] [Index] [Root]