Introduction

 
Number Field Lattices

      Creation of Number Field Lattices
            NumberFieldLattice(K, d) : FldNum, RngIntElt -> LatNF
            NumberFieldLattice(S) : [ModTupFldElt] -> LatNF
            NumberFieldLattice(D) : ModDed -> LatNF
            NumberFieldLattice(L) : Lat -> LatNF
            NumberFieldLatticeWithGram(F) : Mtrx -> LatNF
            StandardLattice(V) : SpcPlr -> LatNF
            LatticeWithBasis(V, B) : SpcPlr, Mtrx[RngOrd] -> LatNF
            LatticeWithPseudobasis(V, P) : SpcPlr, PMat -> LatNF
            Lattice(V, L) : SpcPlr, ModDed -> LatNF
            Module(L) : LatNF -> ModDed
            ChangeRing(L, R) : LatNF, Rng -> LatNF
            sub<L | RHS> : LatNF, Any -> LatNF, Map
            ext<L | RHS> : LatNF, Any -> LatNF, Map
            A + B : LatNF, LatNF -> LatNF
            A meet B : LatNF, LatNF -> LatNF
            r * L : RngElt, LatNF -> LatNF
            InnerProductScaling(L, r) : LatNF, RngElt -> LatNF
            J * L : RngOrdFracIdl, LatNF -> LatNF
            T * L : Mtrx, LatNF -> LatNF
            TJ * L : PMat, LatNF -> LatNF
            L * T : LatNF, Mtrx -> LatNF
            DirectSum(A, B) : LatNF, LatNF -> LatNF
            DirectSum(A) : SeqEnum[LatNF] -> LatNF
            OrthogonalComplement(L, v) : LatNF, LatNFElt -> LatNF
            Dual(L) : LatNF -> LatNF
            SimpleLattice(L) : LatNF -> LatNF
            ZLattice(L) : LatNF -> Lat
            MaximalSublattices(L, p) : LatNF, RngOrdIdl -> [LatNF], [RngIntElt]
            MaximalIntegralLattice(Q) : Mtrx -> LatNF
            MaximalIntegralLattice(L) : LatNF -> LatNF
            MaximalIntegralLattice(V) : SpcPlr -> LatNF
            Example LatNF_creation-examples (H32E1)

      Attributes of Number Field Lattices
            Basis(L) : LatNF -> [ModTupFldElt]
            FreeBasis(L) : LatNF -> [ModTupFldElt]
            LocalBasis(L, p) : LatNF, RngOrdIdl -> [ ModTupFldElt ]
            PseudoBasis(L) : LatNF -> [ModTupFldElt]
            PseudoMatrix(L) : LatNF -> PMat
            CoefficientIdeals(L) : LatNF -> SeqEnum
            Involution(L) : LatNF -> FldAut
            Generators(L) : LatNF -> SeqEnum
            InnerProductMatrix(L) : LatNF -> Mtrx
            AmbientSpace(L) : LatNF -> SpcPlr
            EmbeddingSpace(L) : LatNF -> Mod
            MakeAmbientInnerProduct(~L, IP) : LatNF ->
            GramMatrix(L) : LatNF -> Mtrx
            PseudoGramMatrix(L) : LatNF -> Mtrx
            GramMatrix(L, S) : LatNF, [ ModTupFldElt ] -> AlgMatElt
            Rank(L) : LatNF -> RngIntElt
            Degree(L) : LatNF -> RngIntElt
            BaseRing(L) : LatNF -> FldNum
            CoordinateRing(L) : LatNF -> RngOrd
            Determinant(L) : LatNF -> FldNumElt
            Discriminant(L) : LatNF -> RngOrdFracIdl
            Norm(L) : LatNF -> RngOrdFracIdl
            Scale(L) : LatNF -> RngOrdFracIdl
            BadPrimes(L) : LatNF -> Set
            AuxiliaryForms(L) : LatNF -> [ AlgMatElt ]
            ElementaryDivisors(A, B) : LatNF, LatNF -> [ RngOrdFracIdl ]
            Discriminant(A, B) : LatNF, LatNF -> RngOrdFracIdl
            Index(A, B) : LatNF, LatNF -> RngOrdFracIdl
            JordanDecomposition(L, p) : LatNF, RndOrdIdl -> List, List, SeqEnum
            MaximalNormSplitting(L, p) : LatNF, RngOrdIdl -> SeqEnum, List
            GoodBasisOfNormGenerators(L, p) : LatNF, RngOrdIdl -> SeqEnum, SeqEnum
            GenusSymbol(L, p) : LatNF, RngOrdIdl -> SeqEnum, Any
            LocalGenus(L, p) : LatNF, RngOrdIdl -> SymGenLoc
            Genus(L) : LatNF -> SymGen
            HasseInvariant(L, p) : LatNF, RngOrdIdl -> RngIntElt
            WittInvariant(L, p) : LatNF, RngOrdIdl -> RngIntElt
            SpinorNorm(L, p) : LatNF, RngOrdIdl -> ModTupFld, Map, BoolElt
            Mass(L) : LatNF -> FldRatElt
            Neighbours(L, p) : LatNF, RngOrdIdl -> [LatNF], [RngIntElt]
            IteratedNeighbours(L, p) : LatNF, RngOrdIdl -> [LatNF]
            GenusRepresentatives(L) : LatNF -> [LatNF], Assoc
            Example LatNF_attr-examples (H32E2)
            NumberOfIsotropicSubspaces(L, P, k) : LatNF, RngOrdIdl, RngIntElt -> RngIntElt
            NumberOfNeighbors(L, P, k) : LatNF, RngOrdIdl, RngIntElt -> RngIntElt
            NeighborProcess(L, P, k) : LatNF, RngOrdIdl, RngIntElt -> NeighborProc
            Neighbor(nProc) : NeighborProc -> LatNF
            Advance(nProc) : NeighborProc ->
            SkipTo(nProc, V, S) : NeighborProc, SeqEnum[ModTupFldElt[FldFin]], AlgMatElt[FldFin] ->

      Predicates on Number Field Lattices
            IsSimple(L) : LatNF -> BoolElt
            IsFree(L) : LatNF -> BoolElt
            IsZero(L) : LatNF -> BoolElt
            IsFull(L) : LatNF -> BoolElt
            IsHermitian(L) : LatNF -> BoolElt
            IsQuadratic(L) : LatNF -> BoolElt
            IsTotallyPositiveDefinite(L) : LatNF -> BoolElt
            IsDefinite(L) : LatNF -> BoolElt, RngOrdElt
            Signature(F) : Mtrx[FldAlg] -> ModTupRngElt[RngInt], ModTupRngElt[RngInt], RngIntElt
            A eq B : LatNF, LatNF -> BoolElt
            IsIdentical(A, B) : LatNF, LatNF -> BoolElt
            IsSublattice(S, L) : LatNF, LatNF -> BoolElt, Mtrx
            IsMaximal(L) : LatNF -> BoolElt, LatNF
            IsIntegral(L) : LatNF -> BoolElt
            IsEven(L) : LatNF -> BoolElt
            IsMaximalIntegral(L) : LatNF -> BoolElt, LatNF
            IsModular(L) : LatNF -> BoolElt, RngOrdFracIdl
            IsModular(L, p) : LatNF, RngOrdIdl -> BoolElt, RngIntElt
            IsIsotropic(L, p) : LatNF, RngOrdIdl -> BoolElt nosigIsIsotropic(L, p) : LatNF, PlcNumElt -> BoolElt
            IsLocallyIsometric(L1, L2, p) : LatNF, LatNF, RngOrdIdl -> BoolElt
            IsSameGenus(L1, L2) : LatNF, LatNF -> BoolElt
            IsRationallyEquivalent(L1, L2, p) : LatNF, LatNF, RngOrdIdl -> BoolElt
            IsRationallyEquivalent(L1, L2) : LatNF, LatNF -> BoolElt

      Totally Positive Definite Lattices
            AutomorphismGroup(L) : LatNF -> GrpMat
            IsIsometric(A, B) : LatNF, LatNF -> BoolElt, Mtrx
            IsSimilar(A, B) : LatNF, LatNF -> BoolElt, Mtrx, FldNumElt
            Sphere(L, e) : LatNF, RngElt -> Setq
            IsRepresented(L, e) : LatNF, RngElt -> BoolElt, LatNFElt

 
Number Field Lattice Elements

      Creation
            Zero(L) : LatNF -> LatNFElt
            L ! e : LatNF, Any -> LatNFElt
            L . i : LatNF, RngIntElt -> LatNFElt
            CoordinatesToLattice(L, S) : LatNF, SeqEnum -> LatNFElt

      Parent and Element Relations
            v in L : ModTupRngElt, LatNF -> BoolElt, ModTupFldElt
            Parent(v) : LatNFElt -> LatNF

      Arithmetic
            v + w : LatNFElt, LatNFElt -> LatNFElt
            s * v : RngElt, LatNFElt -> LatNFElt
            T * v : Mtrx, LatNFElt -> LatNFElt
            v * T : LatNFElt, Mtrx -> LatNFElt
            v ^ M : LatNFElt, Mtrx -> LatNFElt
            v ^ G : LatNFElt, GrpMat -> Setq[LatNFElt]
            Stabilizer(G, v) : GrpMat, LatNFElt -> GrpMat
            Norm(v) : LatNFElt -> FldNumElt
            InnerProduct(v, w) : LatNFElt, LatNFElt -> FldNumElt
            Example LatNF_nflatelt-ex (H32E3)

      Access Functions
            Vector(v) : LatNFElt -> ModTupFldElt
            Eltseq(v) : LatNFElt -> SeqEnum
            Coordinates(v) : LatNFElt -> ModTupFldElt

 
Examples
      Example LatNF_simple-nflat-example (H32E4)
      Example LatNF_nf-second-ex (H32E5)
      Example LatNF_nf-lat-sqrt5 (H32E6)
      Example LatNF_nflat-notsimple (H32E7)
      Example LatNF_nflat-maass (H32E8)

 
Lorentzian Lattices

      Special Intrinsics
            IsLorentzian(L) : LatNF -> BoolElt, ModTupFldElt, RngIntElt
            IsTimelike(v): LatNFElt -> BoolElt
            AutomorphismGroup(L, v) : LatNF, LatNFElt -> GrpMat, GrpMat
            IsIsometric(L, v, w) : LatNF, LatNFElt, LatNFElt -> BoolElt, Mtrx
            Example LatNF_simple-lorentz-lat-ex (H32E9)

 
Bibliography

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