Introduction

 
Presentation of Lattices

 
Creation of Lattices

      Elementary Creation of Lattices
            Lattice(X, M) : ModMatRngElt, AlgMatElt -> Lat
            Lattice(X) : ModMatRngElt -> Lat
            LatticeWithBasis(B, M) : ModMatRngElt, AlgMatElt -> Lat
            LatticeWithBasis(B) : ModMatRngElt -> Lat
            LatticeWithGram(F) : AlgMatElt -> Lat
            StandardLattice(n) : RngIntElt -> Lat
            CoordinateLattice(L) : Lat -> Lat
            Module(L) : Lat -> Lat
            ScaledLattice(L, n) : Lat, RngIntElt -> Lat
            TernaryQuadraticLattice(d) : RngIntElt -> Lat
            QuaternaryLatticeOfPrimeDiscriminant(p) : RngIntElt -> Lat
            QuinaryLatticeOfPrimeDiscriminant(p) : RngIntElt -> Lat
            QuadraticLattice(n, d) : RngIntElt, RngIntElt -> Lat
            RandomLattice(n, M) : RngIntElt, RngIntElt -> Lat
            Example Lat_LatticeCreate (H31E1)

      Lattices from Linear Codes
            Lattice(C, "A") : Code -> Lat
            Lattice(C, "B") : Code -> Lat
            Example Lat_Code (H31E2)

      Lattices from Algebraic Number Fields
            MinkowskiLattice(O) : RngOrd -> Lat, Map
            MinkowskiLattice(I) : RngOrdIdl -> Lat, Map
            MinkowskiSpace(K) : FldNum -> KModTup, Map
            Example Lat_OrderLattice (H31E3)

      Special Lattices
            Lattice(X, n) : MonStgElt, RngIntElt -> Lat

 
Lattice Elements

      Creation of Lattice Elements
            L . i : Lat, RngIntElt -> LatElt
            L ! Q : Lat, [ RngElt ] -> LatElt
            CoordinatesToElement(L, C) : Lat, [ RngIntElt ] -> LatElt
            L ! 0 : Lat, RngIntElt -> LatElt

      Operations on Lattice Elements
            - v : LatElt -> LatElt
            v + w : LatElt, LatElt -> LatElt
            v - w : LatElt, LatElt -> LatElt
            v * s : LatElt, RngIntElt -> .
            v / s : LatElt, RngIntElt -> .
            v div d : LatElt, RngIntElt -> LatElt
            v +:= w : LatElt, LatElt ->
            v -:= w : LatElt, LatElt ->
            v *:= n : LatElt, RngIntElt ->
            v * T : LatElt, AlgMatElt -> LatElt
            InnerProduct(v, w) : LatElt, LatElt -> RngElt
            Norm(v) : LatElt -> RngElt
            Length(v, K) : LatElt, Fld -> FldReElt
            Support(v) : LatElt -> SetEnum

      Predicates and Boolean Operations
            v in L : LatElt, Lat -> BoolElt
            v eq w : LatElt, LatElt -> BoolElt
            v ne w : LatElt, LatElt -> BoolElt
            IsZero(v) : LatElt -> BoolElt

      Access Operations
            ElementToSequence(v) : LatElt -> [ RngElt ]
            Coordinates(v) : LatElt -> [ RngIntElt ]
            Coordinates(L, v) : Lat, LatElt -> [ RngIntElt ]
            CoordinateVector(v) : LatElt -> LatElt
            CoordinateVector(L, v) : Lat, LatElt -> LatElt
            Example Lat_LatticeFunctions (H31E4)

 
Properties of Lattices

      Associated Structures
            AmbientSpace(L) : Lat -> ModTupFld, Map
            CoordinateSpace(L) : Lat -> ModTupFld, Map
            Category(L) : Lat -> Cat

      Attributes of Lattices
            Dimension(L) : Lat -> RngIntElt
            Degree(L) : Lat -> RngIntElt
            Degree(v) : LatElt -> RngIntElt
            Content(L) : Lat -> RngElt
            Level(L) : Lat -> RngElt
            Determinant(L) : Lat -> RngElt
            Discriminant(L) : Lat -> RngInt
            Scale(L) : Lat -> RngIntFracIdl
            BadPrimes(L) : Lat -> Set
            GramMatrix(L) : Lat -> AlgMatElt
            GramMatrix(L, S) : Lat, [ ModTupFldElt ] -> AlgMatElt
            GramMatrix(X) : ModMatRngElt : -> AlgMatElt
            InnerProductMatrix(L) : Lat -> AlgMatElt
            Basis(L) : Lat -> [ FldReElt ]
            BasisMatrix(L) : Lat -> ModMatRngElt
            BasisDenominator(L) : Lat -> RngIntElt
            CoefficientIdeals(L) : Lat -> [ RngInt ]
            Involution(L) : Lat -> FldAut
            QuadraticForm(L) : Lat -> RngMPolElt

      Predicates and Booleans on Lattices
            L eq M : Lat, Lat -> BoolElt
            L ne M : Lat, Lat -> BoolElt
            L subset M: Lat, Lat -> BoolElt
            IsZero(L) : Lat -> BoolElt
            IsFull(L) : Lat -> BoolElt
            IsHermitian(L) : Lat -> BoolElt
            IsQuadratic(L) : Lat -> BoolElt
            IsExact(L) : Lat -> BoolElt
            IsIntegral(L) : Lat -> BoolElt
            IsEven(L) : Lat -> BoolElt

      Base Ring and Base Change
            BaseRing(L) : Lat -> Rng
            CoordinateRing(L) : Lat -> RngInt
            ChangeRing(L, S) : Lat, Rng -> Lat, Map

 
Construction of New Lattices

      Sub- and Superlattices and Quotients
            sub<L | S> : Lat, List -> Lat
            ext< L | S > : Lat, List -> Lat
            T * L : AlgMatElt, Lat -> Lat
            s * L : RngElt, Lat -> Lat
            J * L : RngInt, Lat -> Lat
            L / s : Lat, RngElt -> Lat
            quo< L | S > : Lat, List -> GrpAb, Map
            L / S : Lat, Lat -> GrpAb, Map
            ElementaryDivisors(A, B) : Lat, Lat -> [ RngIntFracIdl ]
            Discriminant(A, B) : Lat, Lat -> RngIntFracIdl
            Index(L, S): Lat, Lat -> RngInt
            Example Lat_SubSuperQuo (H31E5)

      Standard Constructions of New Lattices
            Dual(L) : Lat -> Lat
            PartialDual(L, n) : Lat, RngIntElt -> Lat
            DualBasisLattice(L) : Lat -> Lat
            DualQuotient(L) : Lat -> GrpAb, Lat, Map
            EvenSublattice(L) : Lat -> Lat, Map
            Example Lat_dual (H31E6)
            L + M : Lat, Lat -> Lat
            L meet M : Lat, Lat -> Lat
            DirectSum(L, M) : Lat, Lat -> Lat
            OrthogonalDecomposition(L) : Lat -> [Lat]
            OrthogonalDecomposition(F) : [Mtrx] -> [* Mtrx *], [* [Mtrx] *]
            TensorProduct(L, M) : Lat, Lat -> Lat
            ExteriorSquare(L) : Lat -> Lat
            SymmetricSquare(L) : Lat -> Lat
            PureLattice(L) : Lat -> Lat
            IntegralBasisLattice(L) : Lat -> Lat, RngIntElt

 
Reduction of Matrices and Lattices

      LLL Reduction
            Example Lat_LLLUsage (H31E7)
            LLL(X) : ModMatRngElt -> ModMatRngElt, AlgMatElt, RngIntElt
            BasisReduction(X) : ModMatRngElt -> ModMatRngElt, AlgMatElt, RngIntElt
            LLLGram(F) : ModMatRngElt -> ModMatRngElt, AlgMatElt, RngIntElt
            LLLBasisMatrix(L) : Lat -> ModMatElt, AlgMatElt
            LLLGramMatrix(L) : Lat -> AlgMatElt, AlgMatElt
            LLL(L) : Lat -> Lat, AlgMatElt
            BasisReduction(L) : Lat -> Lat, AlgMatElt
            SetVerbose("LLL", v) : MonStgElt, RngIntElt ->
            Example Lat_LLLXGCD (H31E8)

      Pair Reduction
            PairReduce(X) : ModMatRngElt -> ModMatRngElt, AlgMatElt
            PairReduceGram(F) : ModMatRngElt -> ModMatRngElt, AlgMatElt, RngIntElt
            PairReduce(L) : Lat -> Lat, AlgMatElt

      Seysen Reduction
            Seysen(X) : ModMatRngElt -> ModMatRngElt, AlgMatElt
            SeysenGram(F) : ModMatRngElt -> ModMatRngElt, AlgMatElt, RngIntElt
            Seysen(L) : Lat -> Lat, AlgMatElt
            Example Lat_Seysen (H31E9)

      HKZ Reduction
            HKZ(X) : ModMatRngElt -> ModMatRngElt, AlgMatElt
            HKZGram(F) : ModMatRngElt -> ModMatRngElt, AlgMatElt
            HKZ(L) : Lat -> Lat, AlgMatElt
            SetVerbose("HKZ", v) : MonStgElt, RngIntElt ->
            GaussReduce(X) : ModMatRngElt -> ModMatRngElt, AlgMatElt
            Example Lat_HKZ (H31E10)

      BKZ Reduction
            BKZ(M, n) : Mtrx, RngIntElt -> Mtrx, AlgMatElt,RngIntElt
            BKZ(L, n) : Lat, RngIntElt -> Lat, AlgMatElt
            Example Lat_bkz-example (H31E11)

      Minkowski Reduction
            MinkowskiReduction(L) : Lat -> Lat, AlgMatElt

      Greedy Reduction
            GreedyReduction(L) : Lat -> Lat, AlgMatElt
            GreedyOrbit(M) : AlgMatElt -> Set[AlgMatElt]

      Recovering a Short Basis from Short Lattice Vectors
            ReconstructLatticeBasis(S, B) : ModMatRngElt, ModMatRngElt -> ModMatRngEltLat

 
Minima and Element Enumeration

      Minimum, Density and Kissing Number
            Minimum(L) : Lat -> RngElt
            PackingRadius(L) : Lat -> FldReElt
            HermiteConstant(n) : RngIntElt -> RngElt
            HermiteNumber(L) : Lat -> FldReElt
            CentreDensity(L) : Lat -> FldReElt
            Density(L) : Lat -> FldReElt
            KissingNumber(L) : Lat -> RngElt
            Example Lat_Leech (H31E12)

      Shortest and Closest Vectors
            ShortestVectors(L) : Lat -> [ LatElt ]
            ShortestVectorsMatrix(L) : Lat -> ModMatRngElt
            ShortestVector(L) : Lat -> LatElt
            ClosestVectors(L, w) : Lat, ModTupRngElt -> [ LatElt ], RngElt
            ClosestVectorsMatrix(L, w) : Lat, ModTupRngElt -> ModMatRngElt, RngElt
            ClosestVector(L, w) : Lat, ModTupRngElt -> LatElt
            Example Lat_Closest (H31E13)

      Short and Close Vectors
            ShortVectors(L, u) : Lat, RngElt -> [ <LatElt, RngElt> ]
            ShortVectorsMatrix(L, u) : Lat, RngElt -> ModMatRngElt
            ShortVector(L, u) : Lat, RngElt -> LatElt
            CloseVectors(L, w, u) : Lat, ModTupRngElt, RngElt -> [ <LatElt, RngElt> ]
            CloseVectorsMatrix(L, w, u) : Lat, ModTupRngElt, RngElt -> ModMatRngElt
            CloseVector(L, w, u) : Lat, ModTupRngElt, RngElt -> LatElt
            Example Lat_Knapsack (H31E14)
            Example Lat_SingularElements (H31E15)

      Short and Close Vector Processes
            ShortVectorsProcess(L, u) : Lat, RngElt -> LatEnumProc
            CloseVectorsProcess(L, w, u) : Lat, ModTupRngElt, RngElt -> LatEnumProc
            NextVector(P) : LatEnumProc -> LatElt, RngElt
            IsEmpty(P) : LatEnumProc -> BoolElt

      Successive Minima and Theta Series
            SuccessiveMinima(L) : Lat -> [ RngIntElt ], [ LatElt ]
            ThetaSeries(L, n) : Lat, RngIntElt -> RngSerElt
            Example Lat_ThetaSeries (H31E16)
            ThetaSeriesIntegral(L, n) : Lat, RngIntElt -> RngSerElt

      Lattice Enumeration Utilities
            SetVerbose("Enum", v) : MonStgElt, RngIntElt ->
            EnumerationCost(L) : Lat -> FldReElt
            EnumerationCostArray(L) : Lat -> ModTupFldElt
            Example Lat_EnumerationCost (H31E17)
            Example Lat_ParallelEnumeration (H31E18)

 
Theta Series as Modular Forms
      ThetaSeriesModularFormSpace(L) : Lat -> ModFrm
      ThetaSeriesModularForm(L) : Lat -> ModFrmElt

 
Voronoi Cells, Holes and Covering Radius
      VoronoiCell(L) : Lat -> [ ModTupFldElt ], SetEnum , [ ModTupFldElt ]
      VoronoiGraph(L) : Lat -> GrphUnd
      Holes(L) : Lat -> [ ModTupFldElt ]
      DeepHoles(L) : Lat -> [ ModTupFldElt ]
      CoveringRadius(L) : Lat -> FldRatElt
      VoronoiRelevantVectors(L) : Lat -> [ ModTupFldElt ]
      Example Lat_Voronoi (H31E19)

 
Orthogonalization
      Orthogonalize(M) : MtrxSpcElt -> MtrxSpcElt, AlgMatElt, RngIntElt
      Orthogonalization(F) : MtrxSpcElt -> MtrxSpcElt, AlgMatElt, RngIntElt
      OrthogonalizeGram(F, a) : MtrxSpcElt, FldAut -> MtrxSpcElt, AlgMatElt, RngIntElt
      Orthogonalize(L) : Lat -> Lat, AlgMatElt
      Orthonormalize(M, K) : MtrxSpcElt, Fld -> AlgMatElt
      Orthonormalize(L, K) : Lat, FldRe -> AlgMatElt
      Example Lat_Orthogonalize (H31E20)

 
Testing Matrices for Definiteness
      IsPositiveDefinite(F) : Mtrx -> BoolElt
      IsPositiveSemiDefinite(F) : Mtrx -> BoolElt
      IsNegativeDefinite(F) : Mtrx -> BoolElt
      IsNegativeSemiDefinite(F) : Mtrx -> BoolElt
      Signature(F) : Mtrx -> RngIntElt, RngIntElt, RngIntElt
      NumericalSignature(M) : Mtrx -> RngIntElt, RngIntElt

 
Genera and Spinor Genera

      Genus Constructions
            Genus(L) : Lat -> SymGen
            Genera(r, s, d) : RngIntElt, RngIntElt, RngIntElt -> [ SymGen ]
            SpinorGenus(L) : Lat -> SymGen
            SpinorGenera(G) : SymGen -> [ SymGen ]
            Genus(r, s, d, S) : RngIntElt, RngIntElt, RngIntElt, [ SymGenLoc ] -> SymGen

      Local Genus Constructions
            LocalGenus(L, p) : Lat, RngIntElt -> SymGenLoc
            LocalGenus(A, p) : AlgMatElt[RngInt], RngIntElt -> SymGenLoc
            CanonicalLocalGenus(G) : SymGenLoc -> SymGenLoc
            LocalGenus(p, v, r, d) : RngIntElt, [ RngIntElt ], [ RngIntElt ], [ RngElt ] -> SymGenLoc
            LocalGenera(n, d, p) : RngIntElt, RngIntElt, RngIntElt -> [ SymGenLoc ]
            pAdicDiagonalization(L, p) : Lat, RngIntElt -> Lat
            JordanDecomposition(L, p) : Lat, RngIntElt -> List, List, SeqEnum
            pAdicJordanDecomposition(L, p) : Lat, RngIntElt -> AlgMatElt, AlgMatElt
            LocalModification(L, G, p) : Lat, AlgMatElt[RngInt], RngIntElt -> Lat

      Invariants of Genera and Spinor Genera
            Primes(G) : SymGen -> [ RngIntElt ]
            Dimension(G) : SymGen -> RngIntElt
            Signature(G) : SymGen -> RngIntElt, RngIntElt
            Representative(G) : SymGen -> Lat
            RationalRepresentative(G) : SymGen -> AlgMatElt[FldRat]
            IsEven(G) : SymGen -> BoolElt
            IsSpinorGenus(G) : SymGen -> BoolElt
            IsGenus(G) : SymGen -> BoolElt
            Determinant(G) : SymGen -> Lat
            LocalGenera(G) : SymGen -> Lat
            ConwaySymbol(G) : SymGen -> MonStgElt
            G1 eq G2 : SymGen, SymGen -> BoolElt
            # G : SymGen -> RngIntElt
            SpinorCharacters(G) : SymGen -> [ GrpDrchElt ]
            SpinorGenerators(G) : SymGen -> [ RngIntElt ]
            AutomorphousClasses(L, p) : Lat, RngIntElt -> RngIntElt
            IsSpinorNorm(G, p) : SymGen, RngIntElt -> RngIntElt

      Invariants of p-adic Genera
            Prime(G) : SymGenLoc -> RngIntElt
            Representative(G) : SymGenLoc -> Lat
            Determinant(G) : SymGenLoc -> RngIntElt
            Dimension(G) : SymGenLoc -> RngIntElt
            Oddity(G) : SymGenLoc -> RngIntResElt
            Excess(G) : SymGenLoc -> RngIntResElt
            Compartments(G) : SymGenLoc -> [ [ RngIntElt ] ]
            Trains(G) : SymGenLoc -> [ [ RngIntElt ] ]
            ConwaySymbol(G) : SymGenLoc -> MonStgElt
            IsEven(G) : SymGenLoc -> BoolElt
            GramMatrix(G) : SymGenLoc -> AlgMatElt[RngInt]
            G1 eq G2 : SymGenLoc, SymGenLoc -> BoolElt
            # G : SymGenLoc -> RngIntElt

      Neighbour Relations and Graphs
            Neighbour(L, v, p) : Lat, LatElt, RngIntElt -> Lat
            Neighbours(L, p) : Lat, RngIntElt -> Lat
            NeighbourClosure(L, p) : Lat, RngIntElt -> Lat
            GenusRepresentatives(L) : Lat -> [ Lat ], Assoc
            PositiveDefiniteQuadraticLattices(n, d) : RngIntElt, RngIntElt -> [ [ Lat ] ]
            AdjacencyMatrix(G, p) : SymGen, RngIntElt -> AlgMatElt
            Example Lat_Neighbour (H31E21)
            Example Lat_Genus (H31E22)

 
Attributes of Lattices
      L`Minimum : Lat -> RngElt
      L`MinimumBound : Lat -> RngElt

 
Database of Lattices

      Creating the Database
            LatticeDatabase() : -> DB

      Database Information
            # D: DB -> RngIntElt
            LargestDimension(D): DB -> RngIntElt
            NumberOfLattices(D, d): DB, RngIntElt -> RngIntElt
            NumberOfLattices(D, N): DB, MonStgElt -> RngIntElt
            LatticeName(D, i): DB, RngIntElt -> MonStgElt, RngIntElt
            LatticeName(D, d, i): DB, RngIntElt, RngIntElt -> RecMonStgElt, RngIntElt
            LatticeName(D, N): DB, MonStgElt -> RecMonStgElt, RngIntElt
            LatticeName(D, N, i): DB, MonStgElt, RngIntElt -> RecMonStgElt, RngIntElt
            Example Lat_latdb-names (H31E23)

      Accessing the Database
            Lattice(D, i: parameters): DB, RngIntElt -> Lattice
            LatticeData(D, i): DB, RngIntElt -> Rec
            Example Lat_latdb (H31E24)

      Hermitian Lattices
            HermitianTranspose(M) : Mtrx -> Mtrx
            ExpandBasis(M) : Mtrx -> Mtrx
            HermitianAutomorphismGroup(M) : Mtrx -> GrpMat
            InvariantForms(G) : GrpMat -> SeqEnum
            QuaternionicGModule(M, I, J) : ModGrp, AlgMatElt, AlgMatElt -> ModGrp
            MooreDeterminant(M) : Mtrx -> Mtrx
            Example Lat_coxeter-todd (H31E25)
            Example Lat_quaternionic-auto-group (H31E26)

 
Bibliography

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