Introduction

 
Construction of Incidence Structures and Designs
      IncidenceStructure< v | X > : RngIntElt, List -> Inc
      NearLinearSpace< v | X : parameters > : RngIntElt, List -> IncNsp
      LinearSpace< v | X : parameters > : RngIntElt, List -> IncLsp
      Design< t, v | X : parameters > : RngIntElt, RngIntElt, List -> Dsgn
      Example Design_Constructors (H160E1)

 
The Point-Set and Block-Set of an Incidence Structure

      Introduction

      Creating Point-Sets and Block-Sets
            PointSet(D) : Inc -> IncPtSet
            BlockSet(D) : Inc -> IncBlkSet

      Creating Points and Blocks
            Point(D, i) : Inc, RngIntElt -> IncPt
            P . i : IncPtSet, RngIntElt -> IncPt
            Representative(P) : IncPtSet -> IncPt
            Random(P) : IncPtSet -> IncPt
            P ! x : IncPtSet, Elt -> Incpt
            Block(D, i) : Inc, RngIntElt -> IncBlk
            B . i : IncBlkSet, RngIntElt -> IncBlk
            Representative(B) : IncBlkSet -> IncBlk
            Random(B) : IncBlkSet -> IncBlk
            B ! S : IncBlkSet, SetEnum -> IncBlk
            Representative(b) : IncBlk -> IncPt
            Random(b) : IncBlk -> IncPt
            Example Design_points-blocks (H160E2)

 
General Design Constructions

      The Construction of Related Structures
            Complement(D) : Inc -> Inc
            Dual(D) : Inc -> Inc
            Contraction(D, p) : Inc, IncPt -> Inc
            Contraction(D, b) : Inc, IncBlk -> Inc
            Residual(D, b) : Inc, IncBlk -> Inc
            Residual(D, p) : Inc, IncPt -> Inc
            Simplify(D) : Inc -> Inc
            Sum(Q) : [ Inc ] -> Inc
            Union(D, E) : Inc, Inc -> Inc
            Restriction(D, S) : IncNsp, { Incpt } -> IncNsp
            Example Design_related (H160E3)

      The Witt Designs
            WittDesign(n) : RngIntElt -> Dsgn
            Example Design_wittex (H160E4)

      Difference Sets and their Development
            DifferenceSet(p, t) : RngIntElt, MonStgElt -> { RngIntResElt }
            SingerDifferenceSet(n, q) : RngIntElt, RngIntElt -> { RngIntResElt }
            IsDifferenceSet(B) : SetEnum -> BoolElt, RngIntElt
            Development(B) : { RngElt } -> Inc
            Development(T) : { { Elt } } -> Inc
            Example Design_DevelopDifferenceSet (H160E5)

 
Elementary Invariants of an Incidence Structure
      NumberOfPoints(D) : Inc -> RngInt
      Points(D) : Inc -> { IncPt }
      Support(D) : Inc -> { Elt }
      PointDegrees(D) : Inc -> [ RngIntElt ]
      NumberOfBlocks(D) : Inc -> RngIntElt
      Blocks(D) : Inc -> { IncBlk }
      BlockDegrees(D) : Inc -> [ RngIntElt ]
      Covalence(D, S) : Inc, { IncPt } -> RngIntElt
      IncidenceMatrix(D) : Inc -> ModMatRngElt
      pRank(D, p) : Inc, RngIntElt -> RngIntElt

 
Elementary Invariants of a Design
      Parameters(D) : Dsgn -> Record
      ReplicationNumber(D) : Dsgn -> RngIntElt
      BlockDegree(D) : Dsgn -> RngIntElt
      Covalence(D, s) : Dsgn, RngIntElt -> RngIntElt
      Order(D) : Dsgn -> RngIntElt
      IntersectionNumber(D, i, j) : Dsgn, RngIntElt, RngIntElt -> RngIntElt
      PascalTriangle(D) : Dsgn -> SeqEnum
      Example Design_design-invar (H160E6)

 
Operations on Points and Blocks
      p in B : IncPt, IncBlk -> BoolElt
      p notin B : IncPt, IncBlk -> BoolElt
      S subset B : { IncPt }, IncBlk -> BoolElt
      S notsubset B : { IncPt }, IncBlk -> BoolElt
      PointDegree(D, p) : Inc, IncPt -> RngIntElt
      BlockDegree(D, B) : Inc, IncBlk -> RngIntElt
      Set(B) : IncBlk -> { IncPt }
      Support(B) : IncBlk -> { Elt }
      IsBlock(D, S) : Inc, IncBlk -> BoolElt, IncBlk
      Line(D, p, q) : Inc, IncPt, IncPt -> IncBlk
      ConnectionNumber(D, p, B) : Inc, IncPt, IncBlk -> RngIntElt
      Example Design_pts-blks-ops (H160E7)

 
Elementary Properties of Incidence Structures and Designs
      IsSimple(D) : Inc -> BoolElt
      IsTrivial(D) : Inc -> BoolElt
      IsSelfDual(D) : Inc -> BoolElt
      IsUniform(D) : Inc -> BoolElt, RngIntElt
      IsNearLinearSpace(D) : Inc -> BoolElt
      IsLinearSpace(D) : Inc -> BoolElt
      IsDesign(D, t: parameters) : Inc, RngIntElt -> BoolElt, RngIntElt
      IsBalanced(D, t: parameters) : Inc, RngIntElt -> BoolElt, RngIntElt
      IsComplete(D) : Inc -> BoolElt
      IsSymmetric(D) : Dsgn -> BoolElt
      IsSteiner(D, t) : Dsgn, RngIntElt -> BoolElt
      IsPointRegular(D) : IncNsp -> BoolElt, RngIntElt
      IsLineRegular(D) : IncNsp -> BoolElt, RngIntElt

 
Resolutions, Parallelisms and Parallel Classes
      HasResolution(D) : Inc -> BoolElt, { SetEnum }, RngIntElt
      HasResolution(D, λ) : Inc, RngIntElt -> BoolElt, { SetEnum }
      AllResolutions(D) : Inc -> SeqEnum
      AllResolutions(D, λ) : Inc, RngIntElt -> SeqEnum
      IsResolution(D, P) : Inc, SetEnum[SetEnum] -> BoolElt, RngIntElt
      HasParallelism(D: parameters) : Inc, RngIntElt -> BoolElt, { SetEnum }
      AllParallelisms(D) : Inc -> SeqEnum
      IsParallelism(D, P) : Inc, SetEnum[SetEnum] -> BoolElt, RngIntElt
      HasParallelClass(D) : Inc -> BoolElt, { IncBlk }
      IsParallelClass(D, B, C) : Inc, IncBlk, IncBlk -> BoolElt, { IncBlk }
      AllParallelClasses(D) : Inc -> SeqEnum
      Example Design_resol-parallel (H160E8)

 
Conversion Functions
      IncidenceStructure(I) : Inc -> Inc
      NearLinearSpace(I) : Inc -> IncNsp
      LinearSpace(I) : Inc -> IncLsp
      Design(I, t) : Inc, RngIntElt -> Dsgn
      Example Design_conv (H160E9)

 
Identity and Isomorphism
      D eq E : Inc, Inc -> BoolElt
      D ne E : Inc, Inc -> BoolElt
      IsIsomorphic(D, E: parameters) : Inc, Inc -> BoolElt, Map

 
The Automorphism Group of an Incidence Structure

      Construction of Automorphism Groups
            AutomorphismGroup(D) : Inc -> GrpPerm, GSet, GSet, PowMap, Map
            AutomorphismSubgroup(D) : Inc -> GrpPerm, PowMap, Map
            AutomorphismGroupStabilizer(D, k) : Inc, RngIntElt -> GrpPerm, PowMap, Map
            PointGroup(D) : Inc -> GrpPerm, GSet
            BlockGroup(D) : Inc -> GrpPerm
            Aut(D) : Inc -> PowMapAut, Map
            Example Design_auto (H160E10)

      Action of Automorphisms
            Image(g, Y, y) : GrpPermElt, GSet, Elt -> Elt
            Orbit(G, Y, y) : GrpPerm, GSet, Elt -> GSet
            Orbits(G, Y) : GrpPerm, GSet -> [ GSet ]
            Stabilizer(G, Y, y) : GrpPerm, GSet, Elt -> GrpPerm
            Action(G, Y) : GrpPerm, GSet -> Hom(Grp), GrpPerm, GrpPerm
            ActionImage(G, Y) : GrpPerm, GSet -> GrpPerm
            ActionKernel(G, Y) : GrpPerm, GSet -> GrpPerm
            IsPointTransitive(D) : Inc -> BoolElt
            IsBlockTransitive(D) : Inc -> BoolElt
            Example Design_automorphism (H160E11)

 
Incidence Structures, Graphs and Codes
      IncidenceStructure(G) : Grph -> Inc
      PointGraph(D) : Inc -> Grph
      BlockGraph(D) : Inc -> Grph
      IncidenceGraph(D) : Inc -> Grph
      LinearCode(D, K) : Inc, FldFin -> Code
      Example Design_graphs (H160E12)

 
Automorphisms of Matrices
      M ^ x : Mtrx, GrpPermElt -> Mtrx
      AutomorphismGroup(M : parameters) : Mtrx -> GrpPerm
      IsIsomorphic(M, N: parameters) : Mtrx, Mtrx -> BoolElt, GrpPermElt
      Example Design_FanoAuto (H160E13)

 
Bibliography

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