Introduction and First Examples
      Example Polyhedra_polytope-example (H156E1)
      Example Polyhedra_ (H156E2)

 
Polytopes, Cones and Polyhedra

      Polytopes
            Polytope(Q) : SeqEnum -> TorPol
            PolyhedronWithInequalities(A,c) : SeqEnum,[RngIntElt] -> TorPol
            RandomPolytope(L,n,k) : TorLat,RngIntElt,RngIntElt -> TorPol
            BoundingBox(P) : TorPol -> TorPol,TorLatElt,TorLatElt
            Polar(P) : TorPol -> TorPol
            CrossPolytope(L) : TorLat -> TorPol
            StandardSimplex(L) : TorLat -> TorPol
            CyclicPolytope(L,n) : TorLat,RngIntElt -> TorPol
            PolytopeOfProjectiveSpace(d) : RngIntElt -> TorPol
            PolytopeOfWPS(W) : [RngIntElt] -> TorPol

      Cones
            Cone(A) : Seq -> TorCon
            Cone(v) : TorLatElt -> TorCon
            ConeWithInequalities(B) : Set -> TorCon
            FullCone(L): TorLat -> TorCon
            PositiveQuadrant(L) : TorLat -> TorCon
            ZeroCone(L): TorLat -> TorCon
            RandomCone(d,n,k) : RngIntElt,RngIntElt,RngIntElt -> TorCon
            RandomPositiveCone(d,n,k) : RngIntElt,RngIntElt,RngIntElt -> TorCon
            Dual(C): TorCon -> TorCon
            NormalisedCone(P) : TorPol -> TorCon
            ConeInSublattice(C) : TorCon -> TorCon,Map
            ConeQuotientByLinearSubspace(C) : TorCon -> TorCon,Map,Map
            SimplicialSubcone(C) : TorCon -> TorCon
            LatticeBasisInCone(C) : TorCon -> [TorLatElt]

      Polyhedra
            Polyhedron(C,H,h) : TorCon,TorLatElt,FldRatElt -> TorPol
            Polyhedron(C) : TorCon -> TorPol
            HalfspaceToPolyhedron(v,h) : TorLatElt,FldRatElt -> TorPol
            HyperplaneToPolyhedron(v,h) : TorLatElt,FldRatElt -> TorPol
            Polyhedron(C,f,v) : TorCon,Map,TorLatElt -> TorPol
            EmptyPolyhedron(L) : TorLat -> TorPol
            ConeToPolyhedron(C) : TorCon -> TorPol
            PolyhedronInSublattice(P) : TorPol -> TorPol,Map,TorLatElt
            FixedSubspaceToPolyhedron(G) : GrpMat -> TorPol
            Example Polyhedra_toric-polyhedron-example (H156E3)

      Arithmetic Operations on Polyhedra
            C eq D : TorCon,TorCon -> BoolElt
            P eq Q : TorPol,TorPol -> BoolElt
            C meet D : TorCon,TorCon -> TorCon
            P meet Q : TorPol,TorPol -> TorPol
            P subset Q : TorPol,TorPol -> BoolElt
            C + D : TorCon,TorCon -> TorCon
            P + C : TorPol,TorCon -> TorPol
            P * Q : TorPol,TorPol -> TorPol
            k * P : FldRatElt,TorPol -> TorPol
            - P : TorPol -> TorPol

 
Basic Combinatorics of Polytopes and Polyhedra

      Vertices and Inequalities
            Vertices(P) : TorPol -> SeqEnum[TorLatElt]
            NumberOfVertices(P) : TorPol -> RngIntElt
            Rays(C) : TorCon -> SeqEnum
            Ray(C,i) : TorCon,RngIntElt -> TorLatElt
            LinearSpanEquations(C) : TorCon -> SeqEnum
            LinearSpanGenerators(C) : TorCon -> SeqEnum
            LinearSubspaceGenerators(C) : TorCon -> SeqEnum
            Inequalities(C) : TorCon -> SeqEnum
            MatrixOfInequalities(R,C) : Rng,TorCon -> ModMatRngElt
            Example Polyhedra_toric-polytope-inequalities-example (H156E4)
            NormalCone(P,F) : TorPol, TorPol -> TorCon
            NormalEdgeCones(P) : TorPol -> [TorCon]
            InnerNormal(C) : TorCon -> TorLatElt

      Facets and Faces
            [Future release] fVector(C) : TorCon -> SeqEnum[RngIntElt]
            [Future release] hVector(C) : TorCon -> SeqEnum[RngIntElt]
            Facets(C) : TorCon -> SeqEnum
            FacetIndices(P) : TorPol -> SeqEnum
            NumberOfFacets(P) : TorPol -> RngIntElt
            Faces(C) : TorCon -> SeqEnum
            FaceIndices(P,i) : TorPol,RngIntElt -> SeqEnum
            NumberOfFaces(P,i) : TorPol,RngIntElt -> RngIntElt
            Edges(P) : TorPol -> SeqEnum
            EdgeIndices(P) : TorPol -> SeqEnum
            NumberOfEdges(P) : TorPol -> RngIntElt
            Graph(P) : TorPol -> GrphUnd
            FaceSupportedBy(C,H) : TorCon,TorLatElt -> TorCon
            IsSupportingHyperplane(v,h,P) : TorLatElt,FldRatElt,TorPol -> BoolElt,RngIntElt
            SupportingCone(P,v) : TorPol,TorLatElt -> TorCon
            IsFace(C,F) : TorCon,TorCon -> BoolElt

 
The Combinatorics of Polytopes

      Points in Polytopes and Polyhedra
            v in C : TorLatElt,TorCon -> BoolElt
            IsInInterior(v,C) : TorLatElt,TorCon -> BoolElt
            IsOnBoundary(v,C) : TorLatElt,TorCon -> BoolElt
            HasIntegralPoint(P) : TorPol -> BoolElt
            Points(P) : TorPol -> SeqEnum[TorLatElt]
            NumberOfPoints(P) : TorPol -> RngIntElt
            Volume(P) : TorPol -> FldRatElt

      Ehrhart Theory of Polytopes
            EhrhartSeries(P) : TorPol -> FldFunRatUElt
            EhrhartDeltaVector(P) : TorPol -> SeqEnum
            EhrhartPolynomial(P) : TorPol -> [RngUPolElt]
            EhrhartCoefficients(P,l) : TorPol,RngIntElt -> [RngIntElt]
            EhrhartCoefficient(P,k) : TorPol,RngIntElt -> RngIntElt

      Isomorphism Testing and Normal Forms for Polytopes
            IsIsomorphic(P,Q) : TorPol,TorPol -> BoolElt, Map
            Example Polyhedra_polytope-isomorphism-example (H156E5)
            IsEquivalent(P,Q) : TorPol,TorPol -> BoolElt, Map, TorLatElt
            NormalForm(P) : TorPol -> SeqEnum, GrpPermElt
            Example Polyhedra_polytope-normal-form-example (H156E6)
            AffineNormalForm(P) : TorPol -> SeqEnum, GrpPermElt
            Example Polyhedra_polytope-affine-normal-form-example (H156E7)
            MaximalVertexFacetHeightMatrix(P) : TorPol -> AlgMatElt

      Automorphisms of a Polytope
            AutomorphismGroup(P) : TorPol -> GrpMat
            Example Polyhedra_polytope-automorphism-example (H156E8)

      Operations on Polytopes
            Triangulation(P) : TorPol -> SetEnum
            TriangulationOfBoundary(P) : TorPol -> SetEnum

 
Cones and Polyhedra

      Generators of Cones
            BoxElements(C) : TorCon -> SetEnum
            Example Polyhedra_toric-cone-boxelements-example (H156E9)
            HilbertBasis(C) : TorCon -> SeqEnum
            RGenerators(C) : TorCon -> SeqEnum
            Points(C,H,h) : TorCon,TorLatElt,FldRatElt -> SetEnum
            Example Polyhedra_toric-cone-sublattice-example (H156E10)
            QuotientGenerators(C) : TorCon -> SetEnum
            Example Polyhedra_toric-cone-quotient-generators-example (H156E11)

      Properties of Polyhedra
            CompactPart(P) : TorPol -> TorPol
            IntegralPart(P) : TorPol -> TorPol
            InfinitePart(P) : TorPol -> TorCon
            IsEmpty(P) : TorPol -> BoolElt
            Example Polyhedra_toric-polar-cone-example (H156E12)
            Example Polyhedra_toric-polyhedron-example (H156E13)
            IsMaximumDimensional(C) : TorCon -> BoolElt
            IsStrictlyConvex(C) : TorCon -> BoolElt
            IsLinearSpace(C) : TorCon -> BoolElt
            IsSimplicial(C) : TorCon -> BoolElt
            IsSimplex(P) : TorPol -> BoolElt
            IsSimple(P) : TorPol -> BoolElt
            IsAffineLinear(P) : TorPol -> BoolElt
            IsZero(C) : TorCon -> BoolElt
            ContainsZero(P) : TorPol -> BoolElt
            IsPointed(P) : TorPol -> BoolElt
            IsFlag(P) : TorPol -> BoolElt
            IsPerfectlyCentered(P) : TorPol -> BoolElt
            IsIntegrallyClosed(P) : TorPol -> BoolElt

      Attributes of Polyhedra
            IsPolytope(P) : TorPol -> BoolElt
            Dimension(C) : TorCon -> RngIntElt
            Degree(P) : TorPol -> RngIntElt
            Index(C) : TorCon -> RngIntElt
            Width(P) : TorPol -> FldRatElt, SetEnum
            Example Polyhedra_toric-width-example (H156E14)
            IsPyramid(P) : TorPol -> BoolElt, TorLatElt, TorPol, Map, TorLatElt
            Pyramid(P) : TorPol -> TorPol, Map, Map, Map, Map
            Example Polyhedra_toric-pyramid-example (H156E15)
            VertexEdgeIncidenceMatrix(P) : TorPol -> ModMatRngElt
            VertexFacetIncidenceMatrix(P) : TorPol -> ModMatRngElt
            VertexFacetHeightMatrix(P) : TorPol -> AlgMatElt
            EdgeFacetIncidenceMatrix(P) : TorPol -> ModMatRngElt

      Combinatorics of Polyhedral Complexes
            Ambient(C) : TorCon -> TorLat
            ChangeAmbient(C,L) : TorCon,TorLat -> TorCon

 
Toric Lattices

      Toric Lattices
            ToricLattice(n) : RngIntElt -> TorLat
            ScalarLattice() : -> TorLat
            Example Polyhedra_empty-toric-lattice-sequence (H156E16)
            Dual(L) : TorLat -> TorLat
            Example Polyhedra_dual-toric-lattice (H156E17)
            L + M : TorLat,TorLat -> TorLat,TorLatMap,TorLatMap,TorLatMap,TorLatMap
            L ^ n : TorLat,RngIntElt -> TorLat,SeqEnum,SeqEnum
            Dimension(L) : TorLat -> RngIntElt

      Points of Toric Lattices
            L ! [a,b,...] : TorLat,[RngIntElt] -> TorLatElt
            L . i : TorLat,RngIntElt -> TorLatElt
            Basis(L) : TorLat -> TorLatElt
            Form(L,Q) : TorLat,[RngIntElt] -> TorLatElt
            Zero(L) : TorLat -> TorLatElt
            P + Q : TorLatElt,TorLatElt -> TorLatElt
            P eq Q : TorLatElt,TorLatElt -> BoolElt
            AreProportional(P,Q) : TorLatElt,TorLatElt -> BoolElt, FldRatElt
            P / Q : TorLatElt,TorLatElt -> FldRatElt
            Example Polyhedra_toric-example-pt (H156E18)
            v in L : TorLatElt,TorLat -> BoolElt
            Matrix(R,S) : Rng, [TorLatElt] -> ModMatRngElt
            Vector(v) : TorLatElt -> ModTupFldElt
            IsZero(v) : TorLatElt -> BoolElt
            IsIntegral(v) : TorLatElt -> BoolElt
            IsPrimitive(v) : TorLatElt -> BoolElt
            PrimitiveLatticeVector(v) : TorLatElt -> TorLatElt
            Example Polyhedra_toric-primitive-pt (H156E19)

      Operations on Toric Lattices
            L eq K : TorLat,TorLat -> BoolElt
            Sublattice(Q) : [TorLatElt] -> TorLat,TorLatMap
            ToricLattice(Q) : [[RngIntElt]] -> TorLat,TorLatMap
            Quotient(C) : TorCon -> TorLat,TorLatMap
            AddVectorToLattice(v) : TorLatElt -> TorLat,TorLatMap
            AreGenerators(S) : SetEnum -> BoolElt
            IsSublattice(L) : TorLat -> BoolElt
            IsSuperlattice(L) : TorLat -> BoolElt
            IsDirectSum(L) : TorLat -> BoolElt
            IsQuotient(L) : TorLat -> BoolElt
            Sublattice(L) : TorLat -> TorLat,TorLatMap
            Superlattice(L) : TorLat -> TorLat,TorLatMap
            Summands(L) : TorLat -> SeqEnum,SeqEnum,SeqEnum
            Example Polyhedra_toric-example-pt (H156E20)

      Maps of Toric Lattices
            ZeroMap(L,K) : TorLat,TorLat -> TorLatMap
            IdentityMap(L) : TorLat -> TorLatMap
            hom< L -> K | M > : TorLat,TorLat,Mtrx -> TorLatMap
            LatticeMap(L,Q) : TorLat,[TorLatElt] -> TorLatMap
            DefiningMatrix(f) : TorLatMap -> ModMatRngElt
            Image(f,C) : TorLatMap,TorCon -> TorCon
            Preimage(f,C) : TorLatMap,TorCon -> TorCon
            KernelEmbedding(f) : TorLatMap -> Map
            KernelBasis(f) : TorLatMap -> SeqEnum
            ImageBasis(f) : TorLatMap -> SeqEnum
            IsCokernelTorsionFree(f) : TorLatMap -> BoolElt
            ChangeBasis(v) : TorLatElt -> Map
            Example Polyhedra_toric-change-basis-example (H156E21)

 
Bibliography

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