Introduction and First Examples

      The Projective Plane as a Toric Variety
            Example Toric_toric-example1 (H129E1)

      Resolution of a Nonprojective Toric Variety
            Example Toric_toric-example10 (H129E2)
            Example Toric_toric-divisor-scroll-example (H129E3)
            Example Toric_toric-fano-index-example (H129E4)

      The Cox Ring of a Toric Variety
            Example Toric_cox-ring-example (H129E5)

 
Fans in Toric Lattices

      Construction of Fans
            Fan(Q) : [TorCon] -> TorFan
            Fan(R,S) : [TorLatElt],[[RngIntElt]] -> TorFan
            Fan(C) : TorCon -> TorFan
            FanOfAffineSpace(n) : RngIntElt -> TorFac
            FanOfWPS(W) : SeqEnum -> TorFan
            [Future release] FanOfProjectiveSpace(n) : RngIntElt -> TorFac
            FanOfFakeProjectiveSpace(W,Q) : SeqEnum, SeqEnum -> TorFan
            ZeroFan(L) : TorLat -> TorFan
            NormalFan(F,C) : TorFan,TorCon -> TorFan,Map
            NormalFan(P) : TorPol -> TorFan
            SpanningFan(P) : TorPol -> TorFan
            Example Toric_toric-spanning-fan-example (H129E6)
            FanWithWeights(W) : SeqEnum -> TorFan
            Blowup(F,v): TorFan,TorLatElt -> TorFan
            Example Toric_toric-fan-with-weights-example (H129E7)
            IsInSupport(v,F) : TorLatElt,TorFan -> BoolElt,RngIntElt
            OneSkeleton(F) : TorFan -> TorFan
            Fan(F1,F2) : TorFan,TorFan -> TorFan
            F eq G : TorFan,TorFan -> BoolElt

      Components of Fans
            Skeleton(F,n) : TorFan,RngIntElt -> TorFan
            C in F : TorCon,TorFan -> BoolElt
            Cones(F) : TorFan -> SeqEnum
            Cones(F,i) : TorFan,RngIntElt -> SeqEnum
            ConesOfCodimension(F,i) : TorFan,RngIntElt -> SeqEnum
            MaxCones(F) : TorFan -> SeqEnum
            AllCones(F) : TorFan -> SeqEnum
            Cone(F,i) : TorFan,RngIntElt -> TorCon
            Cone(F,S) : TorFan,[RngIntElt] -> TorCon
            NonSimplicialCones(F) : TorFan -> SeqEnum, SeqEnum
            SingularCones(F) : TorFan -> SeqEnum,SeqEnum
            Example Toric_toric-singular-cones-example (H129E8)
            ConeIndices(F) : TorFan -> SeqEnum
            ConeIndices(F,C) : TorFan, TorCon -> SeqEnum
            ConeIntersection(F,C1,C2) : TorFan,TorCon,TorCon -> TorCon
            Face(F,C) : TorFan,TorCon -> TorCon
            InnerNormals(F) : TorFan -> SeqEnum
            DualFaceInDualFan(P,Q) : TorPol,[RngIntElt] -> TorFan
            Rays(F) : TorFan -> SeqEnum
            Ray(F,i) : TorFan,RngIntElt -> TorLatElt
            AllRays(F) : TorFan -> SeqEnum
            PureRays(F) : TorFan -> SeqEnum
            PureRayIndices(F) : TorFan -> SeqEnum
            CreateVirtualRays(S) : [TorLatElt] -> SeqEnum
            VirtualRays(F) : TorFan -> SeqEnum
            VirtualRayIndices(F) : TorFan -> SeqEnum

      Properties of Fans
            Ambient(F) : TorFan -> TorLat
            IsComplete(F) : TorFan -> BoolElt
            IsSingular(F) : TorFan -> BoolElt
            IsNonsingular(F) : TorFan -> BoolElt
            IsQFactorial(F) : TorFan -> BoolElt
            IsIsolated(F) : TorFan -> BoolElt
            IsTerminal(F) : TorFan -> BoolElt
            IsCanonical(F) : TorFan -> BoolElt
            IsGorenstein(F) : TorFan -> BoolElt
            IsQGorenstein(F) : TorFan -> BoolElt

      Maps of Fans
            F @ f : TorFan,Map -> TorFan
            SimplicialSubdivision(F) : TorFan -> TorFan
            Example Toric_toric-simplicial-example (H129E9)
            IsFanMap(F1,F2) : TorFan,TorFan -> BoolElt
            IsFanMap(F1,F2,f) : TorFan,TorFan,Map -> BoolElt
            ResolveFanMap(F1,F2) : TorFan,TorFan -> TorFan
            Resolution(F) : TorFan -> TorFan
            Terminalisation(F) : TorFan -> TorFan
            Canonicalisation(F) : TorFan -> TorFan

 
Geometrical Properties of Cones and Polyhedra
      IsSingular(C) : TorCon -> BoolElt
      IsNonsingular(C) : TorCon -> BoolElt
      IsSmooth(P) : TorPol -> BoolElt
      IsGorenstein(C) : TorCon -> BoolElt
      IsReflexive(P) : TorPol -> BoolElt
      IsQGorenstein(C) : TorCon -> BoolElt
      GorensteinIndex(C) : TorCon -> RngIntElt,TorLatElt
      GorensteinIndex(P) : TorPol -> RngIntElt
      IsIsolated(C) : TorCon -> BoolElt
      IsQFactorial(C) : TorCon -> BoolElt
      IsTerminal(C) : TorCon -> BoolElt
      IsCanonical(C) : TorCon -> BoolElt
      IsFano(P) : TorPol -> BoolElt
      Example Toric_toric-terminal-polytope-example (H129E10)

 
Toric Varieties

      Constructors for Toric Varieties
            ToricVariety(k,n) : Fld,RngIntElt -> TorVar
            ToricVariety(k,Z) : Fld,[RngIntElt] -> TorVar
            ToricVariety(k,Z,Q) : Fld,[RngIntElt],[FldRatElt] -> TorVar
            ToricVariety(k,M,v) : Fld,[[RngIntElt]],[RngIntElt] -> TorVar
            Example Toric_toric-cox-example2 (H129E11)
            ToricVariety(k) : Fld -> TorVar
            ProjectiveSpace(k,n) : Fld,RngIntElt -> Prj
            ProjectiveSpace(k,W) : Fld,[RngIntElt] -> Prj
            AbsoluteRationalScroll(k,S) : Fld,[RngIntElt] -> TorVar
            RationalScroll(k,s,A) : Fld, RngIntElt, [RngIntElt] -> TorVar
            RuledSurface(k,n) : Fld, RngIntElt -> TorVar
            RuledSurface(k,a1,a2) : Fld, RngIntElt, RngIntElt -> TorVar
            HirzebruchSurface(k,n) : Fld, RngIntElt -> TorVar
            BigTorus(k,N) : Rng,TorLat -> TorVar
            BigTorus(X) : TorVar -> TorVar, TorMap, TorMap
            RestrictionToSubtorus(Z) : Sch -> Sch, TorMap

      Toric Varieties and their Fans
            ToricVariety(k,F) : Fld,TorFan -> TorVar
            Fan(X) : TorVar -> TorLat
            Rays(X) : TorVar -> SeqEnum
            OneParameterSubgroupsLattice(X) : TorVar -> TorLat
            MonomialLattice(X) : TorVar -> TorLat
            CoxMonomialLattice(X) : TorVar -> TorLat
            PicardLattice(X) : TorVar -> TorLat
            DivisorClassLattice(X) : TorVar -> TorLat
            IrrelevantIdeal(X) : TorVar -> SeqEnum
            Gradings(X) : Sch -> SeqEnum
            NumberOfGradings(X) : Sch -> RngIntElt
            QuotientGradings(X) : TorVar -> SeqEnum
            NumberOfQuotientGradings(X) : TorVar -> RngIntElt

      Properties of Toric Varieties
            IsSingular(X) : TorVar -> BoolElt
            IsNonsingular(X) : TorVar -> BoolElt
            IsGorenstein(X) : TorVar -> BoolElt
            IsQGorenstein(X) : TorVar -> BoolElt
            IsQFactorial(X) : TorVar -> BoolElt
            IsIsolated(X) : TorVar -> BoolElt
            IsTerminal(X) : TorVar -> BoolElt
            IsCanonical(X) : TorVar -> BoolElt
            IsComplete(X) : TorVar -> BoolElt
            IsProjective(X) : TorVar -> BoolElt
            IsFano(X) : TorVar -> BoolElt
            IsWeakFano(X) : TorVar -> BoolElt
            IsFakeWeightedProjectiveSpace(X) : TorVar -> BoolElt
            IsWeightedProjectiveSpace(X) : TorVar -> BoolElt

      Affine Patches on Toric Varieties
            ToricAffinePatch(X,i) : TorVar,RngIntElt -> TorVar,TorMap
            ToricAffinePatch(X,S) : TorVar,[RngIntElt] -> TorVar,TorMap

 
Cox Rings

      The Cox Ring of a Toric Variety
            CoxRing(X) : TorVar -> RngCox
            CoxRing(k,F) : Fld,TorFan -> RngCox
            Example Toric_toric-cox-example1 (H129E12)
            Example Toric_toric-cox-example2 (H129E13)

      Cox Rings in Their Own Right
            CoxRing(R,B,Z,Q) : RngMPol,SeqEnum,SeqEnum,SeqEnum -> RngCox
            C1 eq C2 : RngCox,RngCox -> BoolElt
            BaseRing(C) : RngCox -> Fld
            UnderlyingRing(C) : RngCox -> RngMPol
            Length(C) : RngCox -> RngIntElt
            IrrelevantIdeal(C) : RngCox -> SeqEnum
            IrrelevantComponents(C) : RngCox -> SeqEnum
            IrrelevantGenerators(C) : RngCox -> SeqEnum
            Gradings(C) : RngCox -> RngIntElt
            NumberOfGradings(C) : RngCox -> RngIntElt
            QuotientGradings(C) : RngCox -> RngIntElt
            NumberOfQuotientGradings(C) : RngCox -> RngIntElt
            C . i : RngCox, RngInt -> RngMPolElt
            AssignNames(~C, S) : RngCox, [MonStgElt] ->
            Name(C,i) : RngCox,RngIntElt -> RngMPolElt

      Recovering a Toric Variety From a Cox Ring
            ToricVariety(C) : RngCox -> TorVar
            Example Toric_toric-from-cox-example (H129E14)
            Fan(C) : RngCox -> TorFan
            CoxMonomialLattice(C) : RngCox -> TorLat
            BasisOfRationalFunctionField(X) : TorVar -> SeqEnum
            BasisOfDegree0CoxMonomials(X) : TorVar -> SeqEnum
            DivisorClassLattice(C) : RngCox -> TorLat
            MonomialLattice(C) : RngCox -> TorLat
            OneParameterSubgroupsLattice(C) : RngCox -> TorLat
            RayLattice(C) : RngCox -> TorLat
            DivisorClassGroup(C) : RngCox -> TorLat
            RayLatticeMap(C) : RngCox -> Map
            WeilToClassGroupsMap(C) : RngCox -> Map

 
Invariant Divisors and Riemann-Roch Spaces

      Divisor Group
            DivisorGroup(X) : TorVar -> DivTor
            ToricVariety(G) : DivTor -> TorVar
            G1 eq G2 : DivTor,DivTor -> BoolElt
            Divisor(G,S) : DivTor,[RngIntElt] -> DivTorElt
            Divisor(G,i) : DivTor,RngIntElt -> DivTorElt

      Constructing Invariant Divisors
            Divisor(X,S) : TorVar,[RngIntElt] -> DivTorElt
            Divisor(X,i) : TorVar,RngIntElt -> DivTorElt
            Divisor(X,f) : TorVar,RngMPolElt -> DivTorElt
            Divisor(X,m) : TorVar,TorLatElt -> DivTorElt
            ZeroDivisor(X) : TorVar -> DivTorElt
            Representative(X,m) : TorVar,ModEDElt -> DivTorElt
            Representative(X,m) : TorVar,TorLatElt -> DivTorElt
            CanonicalDivisor(X) : TorVar -> DivTorElt
            CanonicalClass(X) : TorVar -> DivTorElt
            Example Toric_toric-kawamata-blowup-example (H129E15)

      Properties of Divisors
            Variety(D) : DivTorElt -> TorVar
            Parent(D) : DivTorElt -> DivTor
            Weil(D) : DivTorElt -> SeqEnum
            Cartier(D) : DivTorElt -> SeqEnum[TorLatElt]
            IsQCartier(D) : DivTorElt -> BoolElt
            IsCartier(D) : DivTorElt -> BoolElt
            IsWeil(D) : DivTorElt -> BoolElt
            IsAmple(D) : DivTorElt -> BoolElt
            IsNef(D) : DivTorElt -> BoolElt
            IsBig(D) : DivTorElt -> BoolElt
            IsEffective(D) : DivTorElt -> BoolElt
            PicardClass(D) : DivTorElt -> TorLatElt
            MovablePart(D) : DivTorElt -> DivTorElt
            Example Toric_toric-movable-example (H129E16)
            ImageFan(D) : DivTorElt -> TorFan
            Proj(D) : DivTorElt -> TorVar, PlcEnum
            RelativeProj(D) : DivTorElt -> TorVar
            IntersectionForm(X,C) : TorVar,TorCon -> TorLatElt
            IntersectionForms(X) : TorVar -> [TorLatElt]
            CartierToWeilMap(X) : TorVar -> Map
            PicardToClassGroupsMap(X) : TorVar -> Map
            PicardToClassLatticesMap(X) : TorVar -> Map

      Linear Equivalence of Divisors
            IsQPrincipal(D) : DivTorElt -> BoolElt
            IsPrincipal(D) : DivTorElt -> BoolElt
            IsLinearlyEquivalentToCartier(D) : DivTorElt -> BoolElt, DivTorElt
            AreLinearlyEquivalent(D,E) : DivTorElt,DivTorElt -> BoolElt
            LinearlyEquivalentDivisorWithNoSupportOn(D,S) : DivTorElt,[RngMPolElt] -> DivTorElt
            DefiningMonomial(D) : DivTorElt -> RngMPolElt
            LatticeElementToMonomial(D,v) : DivTorElt,TorLatElt -> RngMPolElt

      Riemann--Roch Spaces of Invariant Divisors
            RiemannRochPolytope(D) : DivTorElt -> TorPol
            RiemannRochBasis(D) : DivTorElt -> [RngElt]
            RiemannRochDimension(D) : DivTorElt -> RngIntElt
            GradedCone(D) : DivTorElt -> TorCon
            Polyhedron(D) : DivTorElt -> TorPol
            Example Toric_toric-rr-example (H129E17)
            HilbertSeries(D) : DivTor -> FldFunRatUElt
            HilbertPolynomial(D) : DivTor -> [RngUPolElt]
            HilbertCoefficients(D,l) : DivTor,RngIntElt -> [RngIntElt]
            HilbertCoefficient(D,i) : DivTor,RngIntElt -> RngIntElt
            HilbertDeltaVector(D) : DivTor -> [RngIntElt]
            Example Toric_toric-rr-by-hand (H129E18)

 
Maps of Toric Varieties

      Maps from Lattice Maps
            ToricVarietyMap(X,Y,f) : TorVar,TorVar,Map -> TorMap
            Blowup(X,v) : TorVar,TorLatElt -> TorVar,TorMap
            ToricIdentityMap(X) : TorVar -> TorMap

      Properties of Toric Maps
            IsRegular(f) : TorMap -> BoolElt
            IndeterminacyLocus(f) : TorMap -> [Sch]
            Example Toric_toric-simplicial-example (H129E19)

 
The Geometry of Toric Varieties

      Resolution of Singularities and Linear Systems
            Resolution(X) : TorVar -> TorVar,TorMap
            QFactorialisation(X) : TorVar -> TorVar, TorMap
            Terminalisation(X) : TorVar -> TorVar, TorMap
            Canonicalisation(X) : TorVar -> TorVar, TorMap
            ResolveLinearSystem(D) : DivTorElt -> TorVar

      Mori Theory of Toric Varieties
            MoriCone(X) : TorVar -> TorCon
            NefCone(X) : TorVar -> TorCon
            ExtremalRays(X) : TorVar -> SeqEnum
            ExtremalRayContraction(X,i) : TorVar,RngIntElt -> TorVar,TorMap
            ExtremalRayContractionDivisor(X,i) : TorVar,RngIntElt -> DivTorElt
            TypeOfContraction(X,i) : TorVar,RngIntElt -> MonStgElt
            IsDivisorialContraction(X,i) : TorVar,RngIntElt -> BoolElt
            IsMoriFibreSpace(X,i) : TorVar,RngIntElt -> BoolElt
            IsFlipping(X,i) : TorVar,RngIntElt -> BoolElt
            Flip(X,i) : TorVar,RngIntElt -> TorVar
            Flip(D) : DivTorElt -> TorVar
            WeightsOfFlip(X,i) : TorVar,RngIntElt -> SeqEnum
            Example Toric_toric-flipwts-example (H129E20)
            Example Toric_toric-weights-of-flip-example (H129E21)
            MMP(X) : TorVar -> SeqEnum,SeqEnum
            Example Toric_toric-mmp-example1 (H129E22)

      Decomposition of Toric Morphisms
            Example Toric_toric-decomposition-example (H129E23)

 
Schemes in Toric Varieties

      Construction of Subschemes
            Scheme(X,f) : TorVar,RngMPolElt -> Sch
            Scheme(X,Q) : TorVar,[RngMPolElt] -> Sch
            BinomialToricEmbedding(Z) : Sch -> Sch, TorMap
            Example Toric_toric-mmp-example1 (H129E24)

 
Bibliography

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