Introduction and First Examples

      Ambient Spaces
            Example Scheme_EXAMPLE (H122E1)

      Schemes
            Example Scheme_ex2 (H122E2)

      Rational Points
            Example Scheme_ex3 (H122E3)

      Projective Closure
            Example Scheme_ex4 (H122E4)

      Maps
            Example Scheme_ex5 (H122E5)

      Linear Systems
            Example Scheme_ex6 (H122E6)

      Aside: Types of Schemes

 
Ambients

      Affine and Projective Spaces
            AffineSpace(k,n) : Rng,RngIntElt -> Aff
            ProjectiveSpace(k,n) : Rng,RngIntElt -> Prj
            ProjectiveLine(k) : RngIntRes -> SetIndx, UserProgram
            ProjectiveLineProcess(V) : ModTupFld[FldFin] -> ProcPL
            # P : ProcPL -> RngIntElt
            Next(P) : ProcPL -> ModTupFldElt
            AffineSpace(R) : RngMPol -> Aff
            ProjectiveSpace(R) : RngMPol -> Prj
            AssignNames(~A,N) : Sch,[MonStgElt] ->
            A . i : Sch,RngIntElt -> RngMPolElt
            Example Scheme_affine-space-names (H122E7)
            A eq B : Sch,Sch -> BoolElt

      Scrolls and Products
            DirectProduct(A,B) : Sch,Sch -> Sch,SeqEnum
            RuledSurface(k,a,b) : Rng,RngIntElt,RngIntElt -> PrjScrl
            RuledSurface(k,n) : Rng,RngIntElt -> PrjScrl
            AbsoluteRationalScroll(k,N) : Rng,SeqEnum -> PrjScrl
            ProductProjectiveSpace(k,N) : Rng,SeqEnum -> PrjScrl
            SegreProduct(Xs) : SeqEnum[Sch] -> Sch, SeqEnum
            SegreEmbedding(X) : Sch -> Sch, MapIsoSch
            Example Scheme_sch:segre-embedding (H122E8)

      Functions and Homogeneity on Ambient Spaces
            CoordinateRing(A) : Sch -> Rng
            FunctionField(A) : Sch -> FldFunFracSch
            Gradings(X) : Sch -> SeqEnum
            NumberOfGradings(X) : Sch -> RngIntElt
            NumberOfCoordinates(X) : Sch -> RngIntElt
            Lengths(X) : Sch -> [RngIntElt]
            IsHomogeneous(X,f) : Sch,RngMPolElt -> BoolElt
            Multidegree(X,f) : Sch,RngMPolElt -> SeqEnum

      Prelude to Points
            A ! [a,b,...] : Sch,[RngElt] -> Pt
            Example Scheme_schemes-points-example1 (H122E9)
            Origin(A) : Aff -> Pt
            Simplex(A) : Prj -> SeqEnum
            Coordinates(p) : Pt -> SeqEnum
            p[i] : Pt, RngIntElt -> RngElt
            p @ f : Pt, FldFunFracSchElt -> RngElt
            Example Scheme_evaluate-funfld-example (H122E10)

 
Constructing Schemes
      Scheme(X,f) : Sch,RngMPolElt -> Sch
      Cluster(X,f) : Sch,RngMPolElt -> Clstr
      Example Scheme_schemes-creation (H122E11)
      Spec(R) : RngMPolRes -> Sch,Aff
      Proj(R) : RngMPolRes -> Sch,Prj
      EmptyScheme(X) : Sch -> Sch
      X meet Y : Sch,Sch -> Sch
      X join Y : Sch,Sch -> Sch
      & join S : [Sch] -> Sch
      Difference(X, Y) : Sch, Sch -> Sch
      Complement(X, Y) : Sch, Sch -> Sch
      RemoveLinearRelations(X) : Sch -> Sch, MapIsoSch
      Blowup(X,Y) : Sch, Sch -> Sch, MapSch
      LocalBlowUp(X,Y) : Sch, Sch -> SeqEnum
      Example Scheme_remove (H122E12)
      Example Scheme_sch-blowup-ex (H122E13)
      Saturate(~X) : Sch ->
      AssignNames(~X,N) : Sch,SeqEnum ->
      X . i : Sch,RngIntElt -> RngMPolElt

 
Different Types of Scheme
      IsAffine(X) : Sch -> BoolElt
      IsProjective(X) : Sch -> BoolElt
      IsOrdinaryProjectiveSpace(X) : Sch -> BoolElt
      IsAmbient(X) : Sch -> BoolElt
      IsCluster(X) : Sch -> BoolElt,Clstr
      IsCurve(X) : Sch -> BoolElt,Crv
      IsPlaneCurve(X) : Sch -> BoolElt, CrvPln
      IsConic(X) : Sch -> BoolElt,CrvCon
      IsRationalCurve(X) : Sch -> BoolElt,CrvRat
      IsHyperellipticCurve(X) : Sch -> BoolElt,CrvHyp
      IsModularCurve(X) : Sch -> BoolElt

 
Basic Attributes of Schemes

      Functions of the Ambient Space
            AmbientSpace(X) : Sch -> Sch
            IdenticalAmbientSpace(X,Y) : Sch, Sch -> BoolElt
            SuperScheme(X) : Sch -> Sch
            BaseRing(X) : Sch -> Rng
            HasGCD(X) : Sch -> BoolElt
            HasGroebnerBasis(X) : Sch -> BoolElt
            HasResultant(X) : Sch -> BoolElt
            BaseField(X) : Sch -> Fld
            IsAffine(X) : Sch -> BoolElt
            IsProjective(X) : Sch -> BoolElt
            IsOrdinaryProjective(X) : Sch -> BoolElt
            IsPlanar(X) : Sch -> BoolElt
            IsSaturated(X) : Sch -> BoolElt

      Functions of the Equations
            DefiningPolynomials(X) : Sch -> SeqEnum
            DefiningPolynomial(X) : Sch -> RngMPolElt
            DefiningIdeal(X) : Sch -> RngMPol
            CoordinateRing(X) : Sch -> RngMPol
            Curve(X) : Sch -> Crv
            GroebnerBasis(X) : Sch -> SeqEnum
            MinimalBasis(X) : Sch -> [ RngMPolElt ]
            IsHypersurface(X) : Sch -> BoolElt, RngMPolElt
            NoCommonComponent(X,Y) : Sch, Sch -> BoolElt
            CommonComponent(X,Y) : Sch, Sch -> Sch
            JacobianIdeal(X) : Sch -> RngMPol
            JacobianMatrix(X) : Sch -> ModMatRngElt
            HessianMatrix(X) : Sch -> ModMatRngElt
            X eq Y : Sch,Sch -> BoolElt
            IsSubscheme(X, Y) : Sch,Sch -> BoolElt
            IsLinear(X) : Sch -> BoolElt
            Example Scheme_scheme-equality (H122E14)

 
Function Fields and their Elements
      Scheme(F) : FldFunFracSch -> Sch
      IntegerRing(F) : RngFrac -> Rng
      AssignNames(~F, S) : RngFrac, [MonStgElt] ->
      F ! g : FldFunFracSch, RngElt -> FldFunFracSchElt
      F . i : FldFunFracSch, RngIntElt -> FldFunFracSchElt
      ProjectiveFunction(f) : FldFunFracSchElt -> FldFracElt
      ProjectiveRationalFunction(f) : FldFunFracSchElt -> FldFunRatMElt
      RestrictionToPatch(f, Xi) : FldFunFracSchElt, Sch -> FldFracElt
      Numerator(f) : RngFracElt -> RngElt
      IntegralSplit(f, X) : FldFunFracSchElt, Sch -> RngMPolElt, RngMPolElt
      Numerator(f, X) : FldFunFracSchElt, Sch -> MPolElt
      Denominator(f, X) : FldFunFracSchElt, Sch -> MPolElt
      Example Scheme_scheme_fld_fun_elt (H122E15)
      Restriction(f, Y) : FldFunFracSchElt, Sch -> FldFunFracSchElt
      GenericPoint(X) : Sch -> Pt

 
Rational Points and Point Sets
      X(L) : Sch,Rng -> SetPt
      P eq Q : SetPt,SetPt -> BoolElt
      Scheme(P) : SetPt -> Sch
      Curve(P) : SetPt -> Crv
      Ring(P) : SetPt -> Rng
      RingMap(P) : SetPt -> Map
      X ! Q : Sch,SeqEnum -> Pt
      p eq q : Pt,Pt -> BoolElt
      p in X : Pt,Sch -> BoolElt
      Scheme(p) : Pt -> Sch
      Curve(p) : Pt -> Crv
      Q in X : SeqEnum,Sch -> BoolElt
      S subset X : Setq,Sch -> BoolElt
      RationalPoints(X) : Sch -> SetIndx
      RationalPointsByFibration(X) : Sch -> SetIndx
      Random(S) : SetPt -> Pt
      HasNonsingularPoint(X) : Sch -> BoolElt,Pt
      Example Scheme_scheme-points (H122E16)

 
Zero-dimensional Schemes
      Cluster(p) : Pt -> Clstr
      RationalPoints(Z) : Sch -> SetEnum
      PointsOverSplittingField(Z) : Clstr -> SetEnum
      HasPointsOverExtension(X) : Sch -> BoolElt
      Degree(Z) : Clstr -> RngIntElt
      Example Scheme_cluster-degree5 (H122E17)

 
Local Geometry of Schemes

      Point Conditions
            IsSingular(p) : Pt -> BoolElt
            IsNonsingular(p) : Pt -> BoolElt
            IsOrdinarySingularity(p) : Pt -> BoolElt

      Point Computations
            Multiplicity(p) : Pt -> RngIntElt
            TangentSpace(p) : Pt -> Sch
            TangentCone(p) : Pt -> Sch

      Analytically Hypersurface Singularities
            IsHypersurfaceSingularity(p,prec) : Pt, RngIntElt -> BoolElt, RngMPolElt, SeqEnum, Rec
            HypersurfaceSingularityExpandFurther(dat,prec,R): Rec, RngIntElt, RngMPol -> RngMPolElt
            HypersurfaceSingularityExpandFunction(dat,f,prec,R): Rec, FldFunRatMElt, RngIntElt, RngMPol -> RngMPolElt, RngMPolElt
            MilnorNumberAnalyticHypersurface(dat) : Rec -> RngIntElt
            Example Scheme_an-hyp-sing-ex (H122E18)

 
Classification and Normal Forms of Singularities
      NormalFormOfHypersurfaceSingularity(f) : RngMPol -> BoolElt, RngMPolElt, MonStgElt, Map
      Corank2Case(f) : RngMPol -> BoolElt, RngMPolElt, MonStgElt, Map
      Corank3Case(f) : RngMPol -> BoolElt, RngMPolElt, MonStgElt, Map
      Example Scheme_scheme-norm-form-sings (H122E19)

 
Global Geometry of Schemes
      Dimension(X) : Sch -> RngIntElt
      Codimension(X) : Sch -> RngIntElt
      Degree(X) : Sch -> RngIntElt
      ArithmeticGenus(X) : Sch -> RngIntElt
      IsEmpty(X) : Sch -> BoolElt
      IsNonsingular(X) : Sch -> BoolElt
      IsSingular(X) : Sch -> BoolElt
      JacobianSubrankScheme(X) : Sch -> Sch
      SingularSubscheme(X) : Sch -> Sch
      Example Scheme_wps-singularities (H122E20)
      PrimeComponents(X) : Sch -> SeqEnum
      PrimaryComponents(X) : Sch -> SeqEnum
      IrreducibleComponents(X) : Sch -> SeqEnum
      ReducedSubscheme(X) : Sch -> Sch, MapSch
      IsIrreducible(X) : Sch -> BoolElt
      IsReduced(X) : Sch -> BoolElt
      IsCohenMacaulay(X) : Sch -> BoolElt
      Example Scheme_schemes-prime-components (H122E21)

 
Base Change for Schemes
      BaseChange(A,K) : Sch,Rng -> Sch
      BaseChange(A,m) : Sch, Map -> Sch
      BaseChange(F,K) : SeqEnum,Rng -> SeqEnum
      BaseChange(X,A) : Sch,Sch -> Sch
      BaseChange(X, n) : Sch, RngIntElt -> Sch
      Example Scheme_base-change-schemes (H122E22)

 
Affine Patches and Projective Closure
      ProjectiveClosure(X) : Sch -> Sch
      AffinePatch(X,i) : Sch,RngIntElt -> Sch
      AffinePatch(X,p) : Sch,Pt -> Sch,Pt
      IsStandardAffinePatch(A) : Aff -> BoolElt, RngIntElt
      NumberOfAffinePatches(X) : Sch -> BoolElt
      HasAffinePatch(X, i) : Sch, RngIntElt -> BoolElt
      WeightedAffinePatch(P, i) : Prj, RngIntElt -> Sch, MapIsoSch
      Example Scheme_projective-closure (H122E23)
      Example Scheme_projective-closure-incorrect (H122E24)
      Example Scheme_weighted-patches (H122E25)
      HyperplaneAtInfinity(X) : Sch -> Sch
      ProjectiveClosureMap(A) : Aff -> MapSch
      AffineDecomposition(P) : Prj -> [MapSch],Pt
      CentredAffinePatch(S, p) : Sch, Pt -> Sch, MapSch

 
Arithmetic Properties of Schemes and Points

      Height
            HeightOnAmbient(P) : Pt -> RngElt

      Restriction of Scalars
            RestrictionOfScalars(S, F) : Sch, Fld -> Sch, MapSch, UserProgram, Map

      Local Solubility
            IsEmpty(Xm) : SetPt -> BoolElt, Pt
            Example Scheme_anf1 (H122E26)
            Example Scheme_anf2 (H122E27)
            IsLocallySolvable(X, p) : Sch, RngOrdIdl -> BoolElt, Pt
            IsLocallySolvable(X,pl) : Sch, PlcFunElt -> BoolElt, Pt
            Example Scheme_anf-local-solv (H122E28)
            LiftPoint(P, n) : Pt, RngIntElt -> Pt
            Example Scheme_anf_lift (H122E29)

      Searching for Points
            PointSearch(S,H : parameters) : Sch[FldRat], RngIntElt -> SeqEnum
            Example Scheme_point-count (H122E30)

      Reduction Mod p
            Reduction(X, p) : Sch, Any -> Sch
            Reduction(I, p) : RngMPol, Any -> RngMPol
            Example Scheme_scheme-red-mod-p (H122E31)

 
Maps between Schemes

      Creation of Maps
            map< X -> Y | F > : Sch,Sch,SeqEnum -> MapSch
            iso< X -> Y | F, G > : Sch,Sch,SeqEnum,SeqEnum -> MapAutSch
            Example Scheme_map-creation (H122E32)
            Example Scheme_map-fnfld (H122E33)
            Example Scheme_map-frobenius (H122E34)
            IdentityMap(X) : Sch -> MapSch
            ConstantMap(X,Y,p) : Sch,Sch,Pt -> MapSch
            Projection(X,Y) : Prj,Prj -> MapSch
            Projection(X, Q) : Sch, Prj -> Sch, MapSch
            ProjectionFromNonsingularPoint(X,p) : Sch,Pt -> Sch,MapSch,Sch
            ProjectiveMap(L, Y) : [FldFunFracSchElt], Sch -> MapSch
            ProjectiveMap(f, Y) : FldFunFracSchElt, Sch -> MapSch
            Example Scheme_map-creation-prj (H122E35)
            Elimination(X,V) : Sch,SeqEnum -> Sch
            Inverse(f) : MapSch -> MapSch
            IsInvertible(f) : MapSch -> Bool, MapSch
            HasKnownInverse(f) : MapSch -> Bool
            Example Scheme_map_creation_inv (H122E36)
            g * f : MapSch,MapSch -> MapSch
            Components(f) : Map -> [Map]
            Example Scheme_hom-spaces (H122E37)
            Restriction(f,X,Y) : MapSch,Sch,Sch -> MapSch
            Expand(phi) : MapSch -> MapSch
            Extend(phi) : MapSch -> MapSch
            Prune(phi) : MapSch -> MapSch
            Normalization(phi) : MapSch -> MapSch
            Example Scheme_map_creation-comp_alt (H122E38)
            ImproveParametrization(p) : MapSch -> MapSch
            Example Scheme_improve_prm_ex (H122E39)

      Basic Attributes

            Trivial Attributes
                  Domain(f) : MapSch -> Sch
                  Codomain(f) : MapSch -> Sch
                  DefiningPolynomials(f) : MapSch -> SeqEnum
                  FactoredDefiningPolynomials(f) : MapSch -> SeqEnum
                  InverseDefiningPolynomials(f) : MapSch -> SeqEnum
                  FactoredInverseDefiningPolynomials(f) : MapSch -> SeqEnum
                  AllDefiningPolynomials(f) : MapSch -> SeqEnum
                  AllInverseDefiningPolynomials(f) : MapSch -> SeqEnum
                  AlgebraMap(f) : MapSch -> Map
                  FunctionDegree(f) : MapSch -> RngIntElt

            Basic Tests
                  f eq g : MapSch, MapSch -> BoolElt
                  IsRegular(f) : MapSch -> BoolElt
                  IsIsomorphism(f) : MapSch -> BoolElt, IsoSch
                  IsDominant(f) : MapSch -> BoolElt
                  IsLinear(f) : MapSch -> BoolElt
                  IsAffineLinear(f) : MapSch -> BoolElt

      Maps and Points
            f(p) : MapSch,Pt -> Pt
            Pullback(f, p) : MapSch, Pt -> Any
            p @@ f : Pt,MapSch -> Any
            f(K) : MapSch,Rng -> Map
            Example Scheme_maps-point-image (H122E40)

      Maps and Schemes
            Pullback(f, X) : MapSch, Sch -> Sch
            Image(f) : MapSch -> Sch
            Image(f,X,d) : MapSch,Sch,RngIntElt -> []
            Example Scheme_map-image1 (H122E41)
            Example Scheme_map-image2 (H122E42)
            BaseScheme(f) : MapSch -> Sch
            BasePoints(f) : MapSch -> SetEnum
            Example Scheme_map-base-points (H122E43)
            Example Scheme_scroll-map-base-points (H122E44)

      Maps and Closure
            ProjectiveClosure(f) : MapSch -> MapSch
            MakeProjectiveClosureMap(A, P, S) : Aff,Prj,SeqEnum ->
            RestrictionToPatch(f,j) : MapSch,RngIntElt -> MapSch
            RestrictionToPatch(f,i,j) : MapSch,RngIntElt,RngIntElt -> MapSch
            Example Scheme_map-patches (H122E45)

      Automorphisms
            Automorphism(X,F) : Sch,SeqEnum -> MapAutSch
            IdentityAutomorphism(X) : Sch -> MapAutSch
            IsEndomorphism(f) : MapSch -> BoolElt
            IsAutomorphism(f) : MapSch -> BoolElt,AutSch
            Example Scheme_automorphism-construction (H122E46)
            Example Scheme_aut-aff-jac (H122E47)

            Affine Automorphisms
                  Automorphism(A,F) : Sch,SeqEnum -> MapSch
                  Automorphism(A,M) : Sch,Mtrx -> MapIsoSch
                  Translation(A,p) : Sch, Pt -> MapSch
                  PermutationAutomorphism(A, g) : Sch,GrpPermElt -> MapIsoSch
                  Example Scheme_aut-aff-perm (H122E48)
                  Automorphism(A,p) : Sch, RngMPolElt -> IsoSch
                  AffineDecomposition(f) : MapSch -> MapSch,MapSch
                  Example Scheme_decompose-automorphism (H122E49)
                  NagataAutomorphism(A) : Aff -> MapSch
                  Projectivity(A,M) : Aff,Mtrx -> MapAutSch
                  Example Scheme_projectivity (H122E50)

            Projective Automorphisms
                  Automorphism(P,F) : Prj, SeqEnum -> MapSch
                  Matrix(f) : MapSch -> Mtrx
                  Automorphism(P,M) : Sch,Mtrx -> MapSch
                  Aut(P) : Prj -> PowAutSch
                  AutomorphismGroup(P) : Prj -> GrpMat,Map
                  Example Scheme_projective-automorphism-group (H122E51)
                  TranslationOfSimplex(P,Q) : Prj, [Pt] -> MapSch
                  Translation(P,Q) : Prj, [Pt] -> MapSch
                  Translation(P,p,q) : Prj, Pt, Pt -> MapSch
                  Translation(X,p) : Sch, Pt -> MapSch
                  Example Scheme_translation (H122E52)
                  QuadraticTransformation(P) : Prj -> MapSch
                  QuadraticTransformation(X) : Sch -> Sch, MapIsoSch
                  Example Scheme_cremona-factorisation (H122E53)

      Scheme Graph Maps
            SchemeGraphMap(X, Y, I) : Sch, Sch, RngMPol -> MapSchGrph
            SchemeGraphMapToSchemeMap(f) : MapSchGrph -> MapSch
            IsInvertible(f) : MapSchGrph -> BoolElt, MapSchGrph
            Example Scheme_graph_maps (H122E54)

 
Tangent and Secant Varieties and Isomorphic Projections

      Tangent Varieties
            TangentVariety(X) : Sch -> Sch
            IsInTangentVariety(X,P) : Sch,Pt -> BoolElt
            Example Scheme_TangentVariety (H122E55)

      Secant Varieties
            SecantVariety(X) : Sch -> Sch
            IsInSecantVariety(X,P) : Sch,Pt -> BoolElt
            Example Scheme_SecantVariety (H122E56)

      Isomorphic Projection to Subspaces
            IsomorphicProjectionToSubspace(X) : Sch -> Sch, MapSch
            EmbedPlaneCurveInP3(C) : Crv -> Sch, MapSch
            Example Scheme_EmbeddingACurve (H122E57)

 
Linear Systems

      Creation of Linear Systems

            Explicit Creation
                  LinearSystem(P, d) : Sch,RngIntElt -> LinearSys
                  LinearSystem(P, d) : Sch, [RngIntElt] -> LinearSys
                  LinearSystem(P, F) : Sch,SeqEnum[RngMPolElt] -> LinearSys
                  MonomialsOfWeightedDegree(X, D) : Sch, [RngIntElt] -> SetIndx
                  Example Scheme_linsys-construction (H122E58)
                  ImageSystem(f,S,d) : MapSch,Sch,RngIntElt -> LinearSys
                  Example Scheme_image-finder (H122E59)

            Geometric Restrictions: Points
                  LinearSystem(L, p) : LinearSys, Point -> LinearSys
                  LinearSystem(L, P) : LinearSys, SeqEnum[Point) -> LinearSys
                  Example Scheme_subsystems (H122E60)
                  LinearSystem(L, p, m) : LinearSys, Point, RngIntElt -> LinearSys
                  Example Scheme_subsystems_mult (H122E61)
                  Example Scheme_subsystems_speed (H122E62)

            Geometric Restrictions: Schemes
                  LinearSystem(L, X : parameters) : LinearSys, Sch -> LinearSys
                  Example Scheme_subsystems-scheme-quadric (H122E63)
                  Example Scheme_subsystems-scheme-noncomplete (H122E64)
                  Example Scheme_subsystems-scheme-variety (H122E65)
                  Example Scheme_subsystems-scheme-affvproj (H122E66)

            Geometric Restrictions: Affine Plane Curves with Non-ordinary Singularities
                  LinearSystem(L, p, m, t) : LinearSys, Point, SeqEnum, SeqEnum[SeqEnum]) -> LinearSys
                  LinearSystem(L, P, M, T) : LinearSys, Points, SeqEnum[SeqEnum], SeqEnum[SeqEnum[SeqEnum]]) -> LinearSys
                  Example Scheme_tacnode (H122E67)
                  Example Scheme_quadrifolium (H122E68)
                  Example Scheme_cusp-sing (H122E69)
                  Example Scheme_two-cubics (H122E70)
                  Example Scheme_pencil-curves (H122E71)

            Geometric Restrictions: Trace on a Scheme
                  LinearSystemTrace(L, X) : LinearSys, Sch -> LinearSys
                  Example Scheme_trace (H122E72)

            Explicit Restrictions
                  LinearSystem(L,F) : LinearSys,SeqEnum -> LinearSys
                  LinearSystem(L,V) : LinearSys,ModTupFld -> LinearSys

      Basic Algebra of Linear Systems

            Tests for Linear Systems
                  Ambient(L) : LinearSys -> Prj
                  L eq K : LinearSys,LinearSys -> BoolElt
                  IsComplete(L) : LinearSys -> BoolElt
                  IsBasePointFree(L) : LinearSys -> BoolElt

            Geometrical Properties
                  Sections(L) : LinearSys -> SeqEnum
                  Random(LS) : LinearSys -> RngMPolElt
                  Degree(L) : LinearSys -> RngIntElt
                  Dimension(L) : LinearSys -> RngIntElt
                  BaseScheme(L) : LinearSys -> SchProj
                  BaseComponent(L) : LinearSys -> SchProj
                  Reduction(L) : LinearSys -> LinearSys
                  Example Scheme_ls-reduction (H122E73)
                  BasePoints(L) : LinearSys -> SeqEnum
                  Multiplicity(L,p) : LinearSys,Pt -> RngIntElt

            Linear Algebra
                  CoefficientSpace(L) : LinearSys -> ModTupFld
                  CoefficientMap(L) : LinearSys -> ModTupFldElt
                  PolynomialMap(L) : LinearSys -> RngMPolElt
                  Complement(L,K) : LinearSys,LinearSys -> LinearSys
                  Complement(L,X) : LinearSys,Sch -> LinearSys
                  Example Scheme_creation-by-subspace (H122E74)
                  L meet K : LinearSys,LinearSys -> LinearSys
                  X in L : Sch,LinearSys -> BoolElt
                  f in L : RngMPolElt,LinearSys -> BoolElt
                  K subset L : LinearSys,LinearSys -> BoolElt

      Linear Systems and Maps
            Pullback(f,L) : MapSch,LinearSys -> LinearSys

 
Divisors

      Divisor Groups
            DivisorGroup(X) : Sch -> DivSch
            Variety(G) : DivSch -> Sch
            G1 eq G2: DivSch, DivSch -> BoolElt

      Creation Of Divisors
            Divisor(X,f) : Sch, FldFunFracSchElt -> DivSchElt
            Divisor(X,Q) : Sch, SeqEnum -> DivSchElt
            HyperplaneSectionDivisor(X) : Sch -> DivSchElt
            ZeroDivisor(X) : Sch -> DivSchElt
            CanonicalDivisor(X) : Sch -> DivSchElt
            SheafToDivisor(S) : ShfCoh -> DivSchElt
            RoundDownDivisor(D) : DivSchElt -> DivSchElt
            RoundUpDivisor(D) : DivSchElt -> DivSchElt
            FractionalPart(D) : DivSchElt -> DivSchElt
            IntegralMultiple(D) : DivSchElt -> DivSchElt,RngIntElt
            EffectiveHypersurfaceTwist(D) : DivSchElt -> DivSchElt, RngMPolElt

      Ideals and Factorisations
            Ideal(D) : DivSchElt -> RngMPol
            Support(D) : DivSchElt -> Sch
            IdealOfSupport(D) : DivSchElt -> RngMPol
            SignDecomposition(D) : DivSchElt -> DivSchElt, DivSchElt
            IdealFactorisation(D) : DivSchElt -> SeqEnum
            CombineIdealFactorisation(~D) : DivSchElt ->
            ComputeReducedFactorisation(~D) : DivSchElt ->
            ComputePrimeFactorisation(~D) : DivSchElt ->
            Multiplicity(D,E) : DivSchElt, DivSchElt -> FldRatElt
            MultiplicityFast(D,E) : DivSchElt, DivSchElt -> FldRatElt
            Multiplicities(D,P) : DivSchElt, SeqEnum[DivSchElt] -> SeqEnum
            Example Scheme_sch-div-mults (H122E75)

      Basic Divisor Predicates
            IsZeroDivisor(D) : DivSchElt -> BoolElt
            IsIntegral(D) : DivSchElt -> BoolElt
            IsEffective(D) : DivSchElt -> BoolElt
            IsPrime(D) : DivSchElt -> BoolElt
            IsFactorisationPrime(D) : DivSchElt -> BoolElt
            IsDivisible(D) : DivSchElt -> BoolElt, RngIntElt

      Arithmetic of Divisors
            D1 + D2 : DivSchElt, DivSchElt -> DivSchElt
            n * D : RngIntElt, DivSchElt -> DivSchElt
            D1 eq D2 : DivSchElt, DivSchElt -> BoolElt

      Further Divisor Properties
            IsCanonical(D) : DivSchElt -> BoolElt
            IsAnticanonical(D) : DivSchElt -> BoolElt
            IsCanonicalWithTwist(D) : DivSchElt -> BoolElt, RngIntElt
            IsPrincipal(D) : DivSchElt -> BoolElt, FldFunFracSchElt
            IsCartier(D) : DivSchElt -> BoolElt
            Example Scheme_divs-cartier-ex (H122E76)
            IsLinearlyEquivalent(D,E) : DivSchElt, DivSchElt -> BoolElt, FldFunFracSchElt
            BaseLocus(D) : DivSchElt -> Sch
            IntersectionNumber(D1,D2) : DivSchElt, DivSchElt-> FldRatElt
            SelfIntersection(D) : DivSchElt -> FldRatElt
            Degree(D) : DivSchElt -> FldRatElt
            IsNef(D) : DivSchElt -> BoolElt
            IsNefAndBig(D) : DivSchElt -> BoolElt
            NegativePrimeDivisors(D) : DivSchElt -> SeqEnum
            ZariskiDecomposition(D) : DivSchElt -> DivSchElt, DivSchElt
            Reduction(D,p) : DivSchElt, Any -> DivSchElt

      Riemann-Roch Spaces
            Sheaf(D) : DivSchElt -> ShfCoh
            RiemannRochBasis(D) : DivSchElt -> SeqEnum
            RiemannRochCoordinates(f,D) : Any, DivSchElt -> BoolElt, SeqEnum
            IsLinearSystemNonEmpty(D) : DivSchElt -> BoolElt, DivSchElt

 
Isolated Points on Schemes
      LinearElimination(S) : Sch -> Map
      IsolatedPointsFinder(S,P) : Sch, SeqEnum -> List
      IsolatedPointsLifter(S,P) : Sch, SeqEnum -> BoolElt, Pt
      IsolatedPointsLiftToMinimalPolynomials(S,P) : Sch, SeqEnum -> BoolElt, SeqEnum
      Example Scheme_ec-large-int-pts (H122E77)
      Example Scheme_halls-conjecture (H122E78)
      Example Scheme_random-linear-scheme (H122E79)
      Example Scheme_mathieu-monodromy (H122E80)

 
Advanced Examples

      A Pair of Twisted Cubics
            Example Scheme_twisted-cubics (H122E81)

      Curves in Space
            Example Scheme_curves-in-space (H122E82)

 
Bibliography

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