Introduction

 
Module Basics: Embedded and Reduced Modules

 
Monomial Orders

      Term Over Position: TOP

      Term Over Position (Weighted): TOPW

      Position Over Term: POT

      Position Over Term (Permutation): POT-PERM

      Block TOP-TOP: TOPTOP

      Block TOP-POT: TOPPOT

 
Basic Creation and Access

      Creation of Ambient Embedded Modules
            EModule(R, k) : Rng, RngIntElt -> ModMPol
            EModule(R, k, order) : Rng, RngIntElt, MonStgElt, ... -> ModMPol
            EModule(R, W) : Rng, [ RngIntElt ] -> ModMPol
            EModule(R, W, order) : Rng, [ RngIntElt ], MonStgElt, ... -> ModMPol

      Creation of Reduced Modules
            RModule(R, k) : Rng, RngIntElt -> ModMPol
            RModule(R, W) : Rng, [ RngIntElt ] -> ModMPol
            GradedModule(R, k) : Rng, RngIntElt -> ModMPol
            GradedModule(R, W) : Rng, [ RngIntElt ] -> ModMPol

      Localization
            Localization(M) : ModMPol -> ModMPol

      Basic Invariants
            Ambient(M) : ModMPol -> ModMPol
            IsAmbient(M) : ModMPol -> BoolElt
            IsEmbedded(M) : ModMPol -> BoolElt
            IsReduced(M) : ModMPol -> BoolElt
            IsRoot(M) : ModMPol -> BoolElt
            CoefficientRing(M) : ModMPol -> ModMPol
            Degree(M) : ModMPol -> RngIntElt
            ColumnWeights(M) : ModMPol -> [ RngIntElt ]
            RelationModule(M) : ModMPol -> [ ModMPol ]
            Relations(M) : ModMPol -> [ ModMPol ]
            RelationMatrix(M) : ModMPol -> ModMatRngElt
            Presentation(M) : ModMPol -> [ ModMPol ]
            IsGraded(M) : ModMPol -> BoolElt

      Creation of Module Elements
            M ! Q : ModMPol, [ RngElt ] -> ModMPolElt
            M ! v : ModMPol, ModTupRngElt -> ModMPolElt
            M ! 0 : ModMPol, RngIntElt -> ModMPolElt
            UnitVector(M, i) : ModMPol, RngIntElt -> ModMPolElt

      Element Operations

            Access
                  Eltseq(f) : ModMPolElt -> [ RngMPolElt ]
                  Vector(f) : ModMPolElt -> ModTupRngElt
                  f[i] : ModMPolElt, RngIntElt -> RngMPolElt

            Arithmetic
                  f div s : ModMPolElt, RngMPolElt -> ModMPolElt
                  SPolynomial(f, g) : ModMPolElt, ModMPolElt -> ModMPolElt
                  Normalize(f) : ModMPolElt -> ModMPolElt
                  NormalForm(f, S) : ModMPolElt, ModMPol -> ModMPolElt
                  Coordinates(M, f) : ModMPolElt, ModMPol -> [ RngMPolElt ]

            Accessing the Underlying Representation
                  Column(f) : ModMPolElt -> RngIntElt
                  Degree(f) : ModMPolElt -> RngIntElt
                  IsHomogeneous(f) : ModMPolElt -> BoolElt

            Predicates
                  IsZero(f) : ModMPolElt -> BoolElt
                  f eq g : ModMPolElt, ModMPolElt -> BoolElt
                  f lt g : ModMPolElt, ModMPolElt -> BoolElt
                  f in M : ModMPolElt, ModMPol -> BoolElt
                  Example PMod_CreateEmbedded (H119E1)

 
The Homomorphism Type
      Homomorphism(M, N, A): ModMPol, ModMPol, Mtrx -> ModMPolHom
      Domain(f) : ModMPolHom -> ModMPol
      Codomain(f) : ModMPolHom -> ModMPol
      PresentationMatrix(f) : ModMPolHom -> ModMatRngElt
      AmbientMatrix(f) : ModMPolHom -> ModMatRngElt
      f(v) : ModMPolHom, RngMPolElt -> RngMPolElt
      f[i] : ModMPolHom, RngIntElt -> RngMPolElt
      Image(f) : ModMPolHom -> ModMPol
      Kernel(f) : ModMPolHom -> ModMPol
      Cokernel(f) : ModMPolHom -> ModMPol
      IsZero(f) : ModMPolHom -> BoolElt
      IsInjective(f) : ModMPolHom -> BoolElt
      IsSurjective(f) : ModMPolHom -> BoolElt
      IsBijective(f) : ModMPolHom -> BoolElt
      IsGraded(f) : ModMPolHom -> BoolElt
      Degree(f) : ModMPolHom -> RngIntElt
      Example PMod_HomomorphismEmbedded (H119E2)

 
Submodules and Quotient Modules

      Creation
            sub<M | L> : ModMPol, List -> ModMPol
            quo<M | L> : ModMPol, List -> ModMPol
            Morphism(M, N) : ModMPol, ModMPol -> ModMPolHom
            Submodule(I) : RngMPol -> ModMPol
            QuotientModule(I) : RngMPol -> ModMPol
            GradedModule(I) : RngMPol -> ModMPol

      Module Bases
            Basis(M) : ModMPol -> RngMPolElt
            BasisElement(M, i) : ModMPol, RngIntElt -> RngMPolElt
            BasisMatrix(M) : ModMPol -> ModMatRngElt
            Groebner(M) : ModMPol ->
            Example PMod_SubQuoEmbedded (H119E3)
            Example PMod_SubQuoReduced (H119E4)

 
Basic Module Constructions
      M + N : ModMPol, ModMPol -> ModMPol
      M meet N : ModMPol, ModMPol -> ModMPol
      f * M : ModMPol, RngElt -> ModMPol
      I * M : RngMPol, ModMPol -> ModMPol
      M / N : ModMPol, ModMPol -> ModMPol
      DirectSum(M, N) : ModMPol, ModMPol -> ModMPol, [ModMPolHom], [ModMPolHom]
      DirectSum(S) : [ModMPol] -> ModMPol, [ModMPolHom], [ModMPolHom]
      Twist(M, d) : ModMPol, RngIntElt -> [ ModMPolElt ], ModMPolHom

 
Predicates
      IsZero(M) : ModMPol -> ModMPol
      M subset N : ModMPol, ModMPol -> BoolElt
      M eq N : ModMPol, ModMPol -> BoolElt
      IsFree(M) : ModMPol -> BoolElt

 
Module Operations
      MinimalBasis(M) : ModMPol -> [ ModMPolElt ]
      MinimalBasis(S) : [ ModMPolElt ] -> [ ModMPolElt ]
      Rank(M) : ModMPol -> RngIntElt
      ColonModule(M, J) : ModMPol, RngMPol -> ModMPol
      ColonIdeal(M, N) : ModMPol, ModMPol -> RngMPol
      Annihilator(M) : ModMPol -> RngMPol
      FittingIdeal(M, i) : ModMPol, RngIntElt -> RngMPol
      FittingIdeals(M) : ModMPol -> RngMPol
      SyzygyModule(M) : ModMPol -> [ ModMPolElt ]
      MinimalSyzygyModule(M) : ModMPol -> [ ModMPolElt ]
      SyzygyModule(Q) : [ RngMPolElt ] -> ModTupRng
      Example PMod_Rank (H119E5)

 
Changing Ring
      ChangeRing(M, S) : RngMPol, Rng -> RngMPol

 
Hilbert Series
      HilbertSeries(M) : ModMPol -> FldFunElt
      HilbertSeries(M, p) : ModMPol, RngIntElt -> RngSerLaurElt
      HilbertDenominator(M) : ModMPol -> RngUPol
      HilbertNumerator(M) : ModMPol -> RngUPolElt, RngIntElt
      HilbertPolynomial(I) : ModMPol -> RngUPolElt, RngIntElt
      Example PMod_Hilbert (H119E6)

 
Free Resolutions

      Constructing Free Resolutions
            FreeResolution(M) : ModMPol -> ModCpx, ModMPolHom
            SetVerbose("Resolution", v) : MonStgElt, RngIntElt ->
            Example PMod_FreeResolution (H119E7)
            Example PMod_FreeResolution1 (H119E8)

      Betti Numbers and Related Invariants
            BettiNumbers(M) : ModMPol -> [ RngIntElt ]
            BettiNumber(M, i, j) : ModMPol, RngIntElt, RngIntElt -> RngIntElt
            MaximumBettiDegree(M, i) : ModMPol, RngIntElt -> RngIntElt
            BettiTable(M) : ModMPol -> [[ RngIntElt ]], RngIntElt
            Regularity(M) : ModMPol -> RngInt
            HomologicalDimension(M) : ModMPol -> RngInt
            Example PMod_Koszul (H119E9)
            Example PMod_ExteriorAlgebra (H119E10)
            Example PMod_FreeResolutionLocal (H119E11)
            Example PMod_HilbertSeriesBetti (H119E12)
            Example PMod_Regularity (H119E13)
            Example PMod_Genus11Curve (H119E14)

 
The Hom Module and Ext
      Hom(M, N) : ModMPol, ModMPol -> ModMPol, Map
      Hom(C, N) : ModCpx, ModMPol -> ModMPol
      Ext(i, M, N) : RngIntElt, ModMPol, ModMPol -> ModMPol
      Example PMod_Hom (H119E15)

 
Tensor Products and Tor
      TensorProduct(M, N) : ModMPol, ModMPol -> ModMPol, Map
      TensorProduct(C, N) : ModCpx, ModMPol -> ModMPol
      Tor(i, M, N) : RngIntElt, ModMPol, ModMPol -> ModMPol
      Example PMod_Hom (H119E16)

 
Cohomology Of Coherent Sheaves
      CohomologyDimension(M,r,n) : ModMPolGrd, RngIntElt, RngIntElt -> RngIntElt
      Example PMod_cohom (H119E17)

 
Bibliography

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